Bài tập 8, § 4

[^1] Cho $n$ là một số tự nhiên $\geqslant 1$.

a) Với mọi phần tử $x= (x_1, . . . , x_n)\in \mathbf{C}^n$, bây giờ chứng minh rằng tồn tại một đa thức P duy nhất với các hệ số phức, đơn thức đầu, bậc $n+1$, sao cho P(0) = 0 và sao cho $(x_1, . . . , x_n)$ là các nghiệm của đạo hàm của P. Ta ký hiệu $\theta (x) =$ $(P(x_1), . . . ,P(x_n))$; các thành phần của nó là các giá trị tới hạn của P.

b) Bây giờ chứng minh rằng $\theta$ xác định một ánh xạ đa thức từ $\mathbf{C}^n$ vào $\mathbf{C}^n$ sao cho $\overset{-1}{\theta}(0) = 0$.

c) Ta ký hiệu bởi U tập mở của $\mathbf{C}^n$ mà các phần tử của nó là các phần tử $(x_1, . . . , x_n)$ có các tọa độ phân biệt và khác không. Bây giờ chứng minh rằng $\overset{-1}{\theta}(U)\subset U$ và hạn chế của $\theta$ lên $\overset{-1}{\theta}(U)$ xác định một phủ $(\overset{-1}{\theta}(U), \theta_U)$ của U.

d) Bài tập chứng minh rằng phủ $(\overset{-1}{\theta}(U), \theta_U)$ có bậc $(n+ 1)^n$.

e) Bài tập chứng minh rằng ánh xạ $\theta$ là toàn ánh.

[^1]: Bài tập này được trích từ bài báo của A. F. Beardon, T. K. Carne và T. W. Ng, « The critical values of a polynomial », Constr. Approx. 18 (2002), 343-354.