Exercice 8, § 4

[^1] Soit $n$ un entier naturel $\geqslant 1$.

a) Pour tout élément $x= (x_1, . . . , x_n)\in \mathbf{C}^n$, montrer qu’il existe un unique polynôme P à coefficients complexes, unitaire, de degré $n+1$, tel que P(0) = 0 et tel que $(x_1, . . . , x_n)$ soient les zéros de la dérivée de P. On note $\theta (x) =$ $(P(x_1), . . . ,P(x_n))$; ses coefficients sont les valeurs critiques de P.

b) Montrer que $\theta$ définit une application polynomiale de $\mathbf{C}^n$ dans $\mathbf{C}^n$ telle que $\overset{-1}{\theta}(0) = 0$.

c) On note U l’ouvert de $\mathbf{C}^n$ dont les éléments sont les éléments $(x_1, . . . , x_n)$ dont les coefficients sont distincts et non nuls. Montrer que $\overset{-1}{\theta}(U)\subset U$ et que la restriction de $\theta$ à $\overset{-1}{\theta}(U)$ définit un revêtement $(\overset{-1}{\theta}(U), \theta_U)$ de U.

d) Démontrer que le revêtement $(\overset{-1}{\theta}(U), \theta_U)$ est de degré $(n+ 1)^n$.

e) Démontrer que l’application $\theta$ est surjective.

[^1]: Cet exercice est tiré de l’article d’A. F. Beardon, T. K. Carne et T. W. Ng, « The critical values of a polynomial », Constr. Approx. 18 (2002), 343-354.