Bài tập 1, § 5

Cho $\alpha \in \mathbf{R}-\mathbf{Q}$ là một số thực vô tỉ và D là đường thẳng của $\mathbf{R}^2$ sinh bởi vectơ $(1, \alpha )$. Gọi $p$ là ánh xạ chính tắc từ $\mathbf{R}^2$ lên $\mathbf{R}^2/\mathbf{Z}^2$. Đặt $B =p(D)$. a) Bây giờ chứng minh rằng $(\overset{-1}{p}(B), p_B)$ là một phủ của B.

b) Bây giờ chứng minh rằng D là một thành phần liên thông của $\overset{-1}{p}(B)$ nhưng $(D, p_B)$ không phải là một phủ.

Điều này cho thấy rằng trong Mệnh đề 6 của I, p. 103, giả thiết B liên thông địa phương không thể bị loại bỏ. Ánh xạ $p: D\rightarrow B$ cũng cho một ví dụ về một ánh xạ liên tục song ánh sao cho $(D, p)$ không phải là một phủ.