Exercice 1, § 5

Soit $\alpha \in \mathbf{R}-\mathbf{Q}$ un nombre réel irrationnel et soit D la droite de $\mathbf{R}^2$ engendrée par le vecteur $(1, \alpha )$. Soit $p$ l’application canonique de $\mathbf{R}^2$ sur $\mathbf{R}^2/\mathbf{Z}^2$. On pose $B =p(D)$. a) Montrer que $(\overset{-1}{p}(B), p_B)$ est un revêtement de B.

b) Montrer que D est une composante connexe de $\overset{-1}{p}(B)$ mais que $(D, p_B)$ n’est pas un revêtement.

Cela montre que dans la proposition 6 de I, p. 103, l’hypothèse que B est localement connexe ne peut pas être supprimée. L’application $p: D\rightarrow B$ fournit aussi un exemple d’application bijective continue telle que $(D, p)$ ne soit pas un revêtement.