Bài tập 3, § 5

Cho $A$ là một không gian tôpô và cho $\sigma : A\rightarrow A$ là một phép đồng phôi. Cho $E_{\sigma}$ là thương của không gian $\mathbf{R}\times A$ theo tác động của nhóm $\mathbf{Z}$ sao cho $1\cdot (t, a) = (t+ 1, \sigma (a))$. Cho $p$ là ánh xạ từ $E_{\sigma}$ vào $\mathbf{R}/\mathbf{Z}$ ánh xạ lớp của một phần tử $(t, a)$ của $\mathbf{R}\times A$ lên lớp của $t$ trong $\mathbf{R}/\mathbf{Z}$.

a) Chứng minh rằng $E_{\sigma}$ là một không gian phân thớ địa phương tầm thường với cơ sở $\mathbf{R}/\mathbf{Z}$ có kiểu sợi A.

Trong phần còn lại của bài tập này, giả sử rằng A là một không gian tôpô rời rạc.

b) Chứng minh rằng mọi không gian phủ của $\mathbf{R}/\mathbf{Z}$ đều đẳng cấu với một không gian phủ có dạng $E_{\sigma}$, trong đó A là một không gian tôpô rời rạc.

c) Chứng minh rằng $E_{\sigma}$ liên thông khi và chỉ khi $\sigma$ có nhiều nhất một quỹ đạo.

d) Cho B là một không gian tôpô rời rạc và cho $\tau$ là một phép hoán vị của B. Xây dựng một song ánh giữa tập hợp các cấu xạ (tương ứng, các đẳng cấu) của các không gian phủ $f: E_{\sigma}\rightarrow E_{\tau}$ và tập hợp các ánh xạ (tương ứng, các ánh xạ song ánh) $\varphi : A\rightarrow B$ sao cho $\tau (f(a)) =f(\sigma (a))$ với mọi $a\in A$.