Exercice 3, § 5

Soit A un espace topologique et soit $\sigma : A\rightarrow A$ un homéomorphisme. Soit $E_{\sigma}$ le quotient de l’espace $\mathbf{R}\times A$ par l’action du groupe $\mathbf{Z}$ telle que $1\cdot (t, a) = (t+ 1, \sigma (a))$. Soit $p$ l’application de $E_{\sigma}$ dans $\mathbf{R}/\mathbf{Z}$ qui applique la classe d’un élément $(t, a)$ de $\mathbf{R}\times A$ sur la classe de $t$ dans $\mathbf{R}/\mathbf{Z}$.

a) Démontrer que $E_{\sigma}$ est un espace fibré localement trivial de base $\mathbf{R}/\mathbf{Z}$ de fibre-type A.

Dans la suite de cet exercice, on suppose que A est un espace topologique discret.

b) Démontrer que tout revêtement de l’espace $\mathbf{R}/\mathbf{Z}$ est isomorphe à un revêtement de la forme $E_{\sigma}$, où A est un espace topologique discret.

c) Démontrer que $E_{\sigma}$ est connexe si et seulement si $\sigma$ a au plus une orbite. d) Soit B un espace topologique discret et soit $\tau$ une permutation de B. Construire une bijection entre l’ensemble des morphismes (resp. des isomorphismes) de revêtements $f: E_{\sigma}\rightarrow E_{\tau}$ et l’ensemble des applications (resp. des applications bijectives) $\varphi : A\rightarrow B$ telles que $\tau (f(a)) =f(\sigma (a))$ pour tout $a\in A$.