Bài tập 4, § 5

Cho A là hợp của điểm $(0,1)$ và tập hợp các điểm của $\mathbf{R}^2$ có dạng $(1/n,1)$, với $n\in \mathbf{N}^*$. Cho B là tập hợp các điểm của $\mathbf{R}^2$ có dạng $(t/n, t)$, với $n\in \mathbf{N}^*$ và $t\in [0,1]$. Cho $C_1$ là đường tròn có đường kính $[(0,0),(0,-1)]$ và cho $C_2$ là đường tròn có đường kính $[(0,1),(0,2)]$. Cuối cùng đặt $X = A\cup B\cup C_1\cup C_2$. Cho $D =\{\alpha , \beta \}$ là một tập hợp có hai phần tử và cho F là không gian $\mathbf{Z}\times D$ được trang bị tôpô rời rạc. a) Cho $E_0$ là phần bù của $\{0\}\times (\mathbf{Z}\times \{\alpha \})$ trong $(A\cup B)\times F$. Chứng minh rằng phép chiếu thứ nhất làm cho $E_0$ là một $(A\cup B)$-không gian tầm thường hóa được phân thớ với kiểu thớ F.

b) Cho $u_1$ là phép hoán vị của F sao cho $u_1(n, w) = (n+ 1, w)$ với mọi $n\in \mathbf{Z}$ và mọi $w\in D$. Xây dựng một phủ của $C_1$ đẳng cấu với phủ $E_{u_1}$ của bài tập 3.

c) Cho $u_2$ là phép hoán vị của F sao cho $u_2(n, \alpha ) = (n, \beta )$ và $u_2(n, \beta ) =$ $(n, \alpha )$ với mọi $n\in \mathbf{Z}$. Xây dựng một phủ của $C_2$ đẳng cấu với phủ $E_{u_2}$ của bài tập 3.

d) Xây dựng một phủ E của X mà các hạn chế của nó lên $A\cup B$, $C_1$ và $C_2$ lần lượt đẳng cấu với $E_0,E_1$ và $E_2$.

e) Chứng minh rằng không gian E là liên thông.

f) Chứng minh rằng nhóm Aut(E) tác động bắc cầu trên thớ tại $(0,1)$ nhưng không tác động như vậy trên các thớ khác.