Exercice 4, § 5

Soit A la réunion du point $(0,1)$ et de l’ensemble des points de $\mathbf{R}^2$ de la forme $(1/n,1)$, pour $n\in \mathbf{N}^*$. Soit B l’ensemble des points de $\mathbf{R}^2$ de la forme $(t/n, t)$, pour $n\in \mathbf{N}^*$ et $t\in [0,1]$. Soit $C_1$ le cercle de diamètre $[(0,0),(0,-1)]$ et soit $C_2$ le cercle de diamètre $[(0,1),(0,2)]$. Posons enfin $X = A\cup B\cup C_1\cup C_2$. Soit $D =\{\alpha , \beta \}$ un ensemble à deux éléments et soit F l’espace $\mathbf{Z}\times D$ muni de la topologie discrète. a) Soit $E_0$ le complémentaire de $\{0\}\times (\mathbf{Z}\times \{\alpha \})$ dans $(A\cup B)\times F$. Démontrer que la première projection fait de $E_0$ un $(A\cup B)$-espace fibré trivialisable, de fibre-type F.

b) Soit $u_1$ la permutation de F telle que $u_1(n, w) = (n+ 1, w)$ pour tout $n\in \mathbf{Z}$ et tout $w\in D$. Construire un revêtement de $C_1$ isomorphe au revêtement $E_{u_1}$ de l’exercice 3.

c) Soit $u_2$ la permutation de F telle que $u_2(n, \alpha ) = (n, \beta )$ et $u_2(n, \beta ) =$ $(n, \alpha )$ pour tout $n\in \mathbf{Z}$. Construire un revêtement de $C_2$ isomorphe au revêtement $E_{u_2}$ de l’exercice 3.

d) Construire un revêtement E de X dont les restrictions à $A\cup B$, $C_1$ et $C_2$ soient isomorphes à $E_0,E_1$ et $E_2$ respectivement.

e) Démontrer que l’espace E est connexe.

f) Démontrer que le groupe Aut(E) opère transitivement sur la fibre en $(0,1)$ mais pas sur les autres fibres.