Bài tập 1, § 6

Cho X là một không gian tôpô. Phép treo của X được gọi là thương của không gian $X\times [0,1]$ bởi quan hệ tương đương mịn nhất mà đối với nó $X\times \{0\}$ và $X\times \{1\}$ là các lớp tương đương; không gian này được ký hiệu là S(X) và $p: X\times [0,1]\rightarrow S(X)$ là toàn cấu chính tắc.

(a) Chứng minh rằng, với mọi số nguyên $n\geqslant 0$, không gian $S(\mathbf{S}_n)$ đồng phôi với $\mathbf{S}_{n+1}$.

(b) Chứng minh rằng không gian S(X) đơn liên khi và chỉ khi không gian X liên thông.