Exercice 1, § 6

Soit X un espace topologique. On appelle suspension de X le quotient de l’espace $X\times [0,1]$ par la relation d’équivalence la plus fine pour laquelle $X\times \{0\}$ et $X\times \{1\}$ sont des classes d’équivalence ; on note S(X) cet espace et $p: X\times [0,1]\rightarrow S(X)$ la surjection canonique.

a) Démontrer que, pour tout entier $n\geqslant 0$, l’espace $S(\mathbf{S}_n)$ est homéomorphe à $\mathbf{S}_{n+1}$.

b) Démontrer que l’espace S(X) est simplement connexe si et seulement si l’espace X est connexe.