L’espace E est localement connexe, car B l’est. Soit $E_0$ la composante connexe de $x$ dans E, de sorte que l’espace $(E_0, x)$ est un revêtement pointé de $(B, b)$ (I, p. 80, cor. 1 de la prop. 6). Il existe alors un unique morphisme de revêtements $f: E\rightarrow E_0$ tel que $f(x) =x$. Si $i$ désigne l’injection canonique de $E_0$ dans E, l’application $i\circ f: E\rightarrow E$ est un morphisme de revêtements qui applique $x$ sur $x$, de même que l’application Id$_E$; puisque $(E, x)$ est un revêtement universel de $(B, b)$, on a donc $i\circ f=$ Id$_E$. Cela entraîne que $i$ est surjectif, donc $E_0= E$. Par suite, E est connexe.

Soit $y$ un point de $E_b$ et considérons le revêtement pointé $(E, y)$ de $(B, b)$ ; il existe par hypothèse un unique morphisme de revêtements $f: E\rightarrow E$ tel que $f(x) =y$. L’application $s: E\rightarrow E\times_BE$ définie par $t\mapsto (t, f(t))$ est une section continue de l’application pr$_1: E\times_BE\rightarrow E$. D’après le cor. 4 de I, p. 81, cela démontre que le revêtement $E\times_BE$ de E donné par l’application pr$_1$ est trivialisable. Le revêtement E est donc galoisien (th. 2 de I, p. 102). Il résulte alors de I, p. 112, corollaire de la prop. 10, que tout revêtement de B est associable à E.

(i) Le revêtement E est trivialisable au-dessus de A ;

(ii) Tout revêtement de B est trivialisable au-dessus de A.

La propriété (ii) implique évidemment la propriété (i). La réciproque résulte de ce que tout revêtement de B est associable au revêtement E (I, p. 105, prop. 7).

L’application $p_A$ est finie, continue, et vérifie les propriétés suivantes :

(i) Pour tout $x\in E$ tel que $x= 0\not$ , on a $p_A(x)>0$ ;

(ii) Pour tout $s\in \mathbf{R}_+$ et tout $x\in E$, on a $p_A(sx) =sp_A(x)$.

(iii) Pour tous $x$ et $y\in E$, on a $p_A(x+y)\leqslant p_A(x) +p_A(y)$.

(iv) Pour qu’un point $x$ de E appartienne à A, il faut et il suffit que $p_A(x)\leqslant 1$.

Pour $x\in E$, notons $\|x\|$ la norme euclidienne de $x$ (TG, VI, p. 7). Comme A est compact, il existe un nombre réel $M>0$ tel que tout point $x$ de A vérifie $\|x\|\leqslant M$. Comme 0 est un point intérieur de A, il existe un nombre réel $m >0$ tel que tout point $x$ de E tel que $\|x\|\leqslant m$ appartienne à A. Par suite, on a la relation $\|x\|/M\leqslant p_A(x)\leqslant \|x\|/m$, pour tout $x\in E$. En particulier, $p_A(0) = 0$ et $p_A(x)= 0\not$ si $x= 0\not$ .

Les assertions (ii) et (iv) résultent immédiatement de la définition de l’application $p_A$.

Soient $x$ et $y$ des points de E. Soient $x'$ et $y'$ des points de A tels que $x=p_A(x)x'$ et $y=p_A(y)y'$. Si $x$ et $y$ ne sont pas tous deux nuls, $p_A(x) +p_A(y)>0$ et l’on a

Comme A est convexe, cela démontre que $x+y$ appartient à $(p_A(x) +$ $p_A(y))A$, d’où $p_A(x+y)\leqslant p_A(x) +p_A(y)$. Si $x=y= 0$, cette inégalité est encore vérifiée, car $p_A(0) = 0$. Cela démontre l’assertion (iii).

Appliquant cette inégalité à $x+y$ et $-y$, on en déduit que, pour tout couple $(x, y)$ de points de E, on a

$|p_A(x+y)-p_A(x)|\leqslant$ max($p_A(y), p_A(-y)$)$\leqslant m^{-1}\|y\|$.

Cela démontre que l’application $p_A$ est continue, d’où le lemme.

L’application $p_A$ est appelée jauge de la partie convexe A.

(i) Pour tout $x\in E$ et tout $t\in \mathbf{R}_+,u(tx) =tu(x)$ ;

(ii) Pour tout $x\in E$, il existe $\lambda \in \mathbf{R}_+$ tel que $u(x) =\lambda x$;

(iii) On a $u(A) =\mathbf{B}_n$.

L’application $u$ est un homéomorphisme et induit, par passage aux sous-espaces, un homéomorphisme de A sur $\mathbf{B}_n$, un homéomorphisme de l’intérieur de A sur l’intérieur de $\mathbf{B}_n$ et un homéomorphisme de la frontière de A dans E sur la sphère $\mathbf{S}_{n-1}$.

Soit $p_A$ la jauge de la partie convexe A. Soit $x\in E$ et soit $t\in \mathbf{R}_+$; pour que $x\in tA$, il faut et il suffit que $p_A(x)\leqslant t$. Comme A est compacte, il existe un nombre réel M tel que $\|x\|\leqslant M$ pour tout $x\in A$.

Soit $u$ une application vérifiant les conditions de la proposition. On a $u(0) = 0$. Soit $x\in E-\{0\}$ et soit $\lambda \in \mathbf{R}_+$ tel que $u(x) =\lambda x$. Pour tout $t\in \mathbf{R}_+$ tel que $tx\in A$, on a $u(tx) =t\lambda x$. Comme $u$ est injective, $\lambda = 0\not$ . Comme $u(A)$ est contenu dans $\mathbf{B}_n$, on a aussi $\lambda \leqslant p_A(x)/\|x\|$. Posons $z=x/\|x\|$; c’est un point de $\mathbf{S}_{n-1}$. Pour que $z$ possède un antécédent dans A par $u$, il faut et il suffit que le point $(\lambda \|x\|)^{-1}x$ appartienne à A, c’est-à-dire $\lambda \|x\|\geqslant p_A(x)$, i.e. $\lambda \geqslant p_A(x)/\|x\|$. Cela implique l’unicité d’une telle application $u$.

Notons alors $u$ l’application de E dans lui-même qui applique 0 sur 0 et $x$ sur $(p_A(x)/\|x\|)x$, pour tout $x\in E-\{0\}$.

D’après le lemme $1,u$ est continue en tout point de E $-\{0\}$. On a $\|u(x)\|=p_A(x)$ pour tout $x\in E$ et $p_A(x)\rightarrow 0$ lorsque $x\rightarrow 0$ (loc. cit.) ; par conséquent, $u$ est continue en 0. Par suite, $u$ est continue.

Le seul antécédent de 0 par $u$ est 0. Soit $y\in E-\{0\}$. Pour qu’un élément $x$ de E vérifie $u(x) =y$, il faut et il suffit que $x= (\|y\|/p_A(y))y$. Cela entraîne que $u$ est une bijection continue de E sur lui-même. Sa réciproque est l’application $v:y\mapsto (\|y\|/p_A(y))y$. Comme $p_A$ est continue et ne s’annule qu’en 0, l’application $v$ est continue en tout point de E $-\{0\}$; l’inégalité $p_A(y)\geqslant \|y\|/M$ entraîne que $\|v(y)\|\leqslant M\|y\|$ pour tout $y\in E$. Il s’ensuit que $v$ est continue. Par suite, l’application $u$ est un homéomorphisme de E sur lui-même. Comme les relations $p_A(x)\leqslant 1$ et $x\in A$ sont équivalentes, on a aussi $u(X) =\mathbf{B}_n$. La proposition en résulte.

Les applications $g$ cherchées correspondent bijectivement (I, p. 9, prop. 3) aux sections continues $s$ du revêtement pr$_1: X\times_BE\rightarrow X$ telles que $s(x) = (x, y)$. Une telle section existe car l’espace X est simplement connexe ; elle est unique car l’espace X est connexe (I, p. 34, cor. 1 de la prop. 11).

Soient X et Y des espaces simplement connexes et supposons que Y soit localement connexe. L’espace $X\times Y$ est connexe, car X et Y le sont (I, p. 124). Soit $(Z, f)$ un revêtement non vide de $X\times Y$ ; démontrons qu’il est trivialisable. D’après le corollaire 2 de I, p. 70, il suffit de démontrer que pour tout point $z_0$ de Z, il existe une section continue $s$ de $f$ telle que $s(f(z_0)) =z_0$. Soit donc $z_0$ un point de Z. Posons $(x_0, y_0) =f(z_0)$. Le sous-espace $X\times \{y_0\}$ de $X\times Y$ est homéomorphe à X. Par suite, le revêtement déduit de Z au-dessus de $X\times \{y_0\}$ est trivialisable et possède une section continue $\sigma$ telle que $\sigma (x_0, y_0) =z_0$. De même, pour tout point $x$ de X, il existe une section continue $\tau_x$ de $f$ au-dessus de $\{x\}\times Y$ telle que $\tau_x(x, y_0) =\sigma (x, y_0)$. Pour $(x, y)\in X\times Y$, posons $s(x, y) =\tau_x(x, y)$. L’application $s$ est une section de $f$ et l’on a $s(x_0, y_0) =z_0$. Comme l’espace Y est connexe et localement connexe, il résulte du th. 1 de I, p. 35 que l’application $s$ est continue.

Soit B un tel espace topologique. Soit $(E, p)$ un revêtement de B, soit $x$ un point de E et notons $b=p(x)$. Il s’agit de démontrer qu’il existe une section continue $s$ de $p$ telle que $s(b) =x$ (cor. 2, I, p. 70). Soit $\mathscr{S}$ l’ensemble des couples $(U, s_U)$ où U est une partie ouverte connexe de B contenant $b$ et $s_U$ une section continue de $p_U:\overset{-1}{p}(U)\rightarrow U$ telle que $s_U(b) =x$. L’ensemble $\mathscr{S}$ n’est pas vide ( I, p. 34, prop. 10). Soient $(U, s_U)$ et $(V, s_V)$ des éléments de $\mathscr{S}$. Alors, $s_U|U\cap V$ et $s_V|U\cap V$ sont des sections continues de $p_{U\cap V}$ qui prennent la valeur $x$ en $b$. Par hypothèse, $U\cap V$ est connexe ; on a donc $s_U|U\cap V =s_V|U\cap V$ (I, p. 34, cor. 1 de la prop. 11). Soit A la réunion des ouverts U lorsque $(U, s_U)$ parcourt $\mathscr{S}$ et soit $s: A\rightarrow E$ l’unique application telle que $s|U =s_U$ pour tout couple $(U, s_U)\in \mathscr{S}$. L’ensemble A est ouvert et connexe (TG, I, p. 81, prop. 2), il contient $b$, et $s$ est une section continue de $p_A$ telle que $s(b) =x$. Il suffit maintenant de démontrer que l’ensemble A est fermé, ce qui entraînera qu’il est égal à B.

Soit $a$ un point de B adhérent à A et soit V un voisinage ouvert connexe de $a$ tel que le revêtement E soit trivialisable au-dessus de V. Il existe un point $c$ dans $A\cap V$ et une section continue $s_V$ de $p_V$ telle que $s_V(c) =s(c)$. Soit $A'$ l’ouvert $A\cup V$. Comme $A\cap V$ est connexe, il existe une section continue $s'$ de $p_{A'}$ qui prolonge $s$ et $s_V($I, p. 35, cor. 3 de la prop. 11) ; le couple $(A', s')$ appartient à $\mathscr{S}$ et $A'$ est donc contenu dans A. Par suite, $a$ appartient à A et A est fermé.

En effet, les sous-espaces connexes de $\mathbf{R}$ sont les intervalles (TG, IV, p. 8, th. 4) et l’intersection de deux intervalles est un intervalle.

Soit $(E, p)$ un revêtement de X et soit $y$ un point de E. Il suffit de démontrer qu’il existe une section continue $s$ de $p$ telle que $s(p(y)) =y$ (I, p. 70, cor. 2 de la prop. 1). Supposons par exemple que $p(y)$ appartienne à $U_1$. Il existe alors une section continue $s_1: U_1\rightarrow E$ de $p_{U_1}$ telle que $s_1(p(y)) =y$. Soit $x$ un point de $U_1\cap U_2$; il existe une section continue $s_2$ de $p_{U_2}$ telle que $s_2(x) =s_1(x)$. D’après le corollaire 3 de la proposition 11 de I, p. 34, il existe une section continue $s$ de $p$ prolongeant à la fois $s_1$ et $s_2$.

Posons $U = U_1\cap U_2$ et supposons par l’absurde que l’espace U ne soit pas connexe. Nous allons construire un revêtement connexe de X de degré infini ; un tel revêtement n’est pas trivialisable.

Par hypothèse, l’ensemble U est la réunion de deux ensembles A et B disjoints, non vides et ouverts (resp. fermés) dans X. Pour $i\in \{1,2\}$, soit $Y_i$ le $U_i$-espace $(U_i\times \mathbf{Z}$, pr$_1)$ et soit $Z_i$ le sous-espace $U\times \mathbf{Z}$ de $Y_i$. L’application $h: Z_1\rightarrow Z_2$ définie par

$(x, n)$ si $x\in A$ et $n\in \mathbf{Z}$

$(x, n+ 1)$ si $x\in B$ et $n\in \mathbf{Z}$

est un homéomorphisme. Soit Y l’espace obtenu par recollement de $Y_1$ et $Y_2$ le long de $Z_1$ et $Z_2$ au moyen de l’homéomorphisme $h$ (TG, I, p. 17).

Pour $i\in \{1,2\}$, l’application canonique $g_i$ de $Y_i$ dans Y est un homéomorphisme de $Y_i$ sur une partie ouverte (resp. fermée) de Y (loc. cit., prop. 9). Pour tout entier $n\in \mathbf{Z}$, les ensembles $g_i(U_i\times \{n\})$, $i\in \{1,2\}$, sont connexes ; comme A et B ne sont pas vides, $g_1(U_1\times \{n\})$ rencontre $g_2(U_2\times \{n\})$ et $g_2(U_2\times \{n+1\})$. Il en résulte que l’espace Y est connexe (TG, I, p. 81, corollaire).

Pour $x\in U$ et $n\in \mathbf{Z}$, on a (pr$_1\circ h$)$(x, n) =x=$ pr$_1(x, n)$. Il existe donc une unique application continue $p: Y\rightarrow X$ telle que $p\circ g_i=$ pr$_1$ pour $i\in \{1,2\}$. Démontrons que le X-espace $(Y, p)$ est un revêtement. Par construction, les fibres de l’application $p$ sont homéomorphes à l’espace discret $\mathbf{Z}$.

Pour $i\in \{1,2\}$, l’application $g_i$ définit par passage aux sous-espaces un isomorphisme de $U_i$-espaces de $U_i\times \mathbf{Z}$ sur $\overset{-1}{p}(U_i)$.

Par définition de l’espace Y, il existe une unique application $k$ de $(X-A)\times \mathbf{Z}$ dans Y telle que $k(x, n) =g_1(x, n)$ pour $x\in (U_1-A)\times \mathbf{Z}$ et $k(x, n) =g_2(x, n-1)$ pour $x\in (U_2-A)\times \mathbf{Z}$; c’est un isomorphisme de (X-A)-espaces de $(X-A)\times \mathbf{Z}$ sur $\overset{-1}{p}(X-A)$. De même, il existe une unique application $k'$ de $(X-B)\times \mathbf{Z}$ dans Y qui coïncide avec $g_1$ dans $(U_1-B)\times \mathbf{Z}$ et avec $g_2$ dans $(U_2-B)\times \mathbf{Z}$ et c’est un isomorphisme de (X-B)-espaces de $(X-B)\times \mathbf{Z}$ sur $\overset{-1}{p}(X-B)$.

Cela démontre que le X-espace $(Y, p)$ est trivialisable au-dessus des parties $U_1,U_2$, X-A et X-B. On a $U_1\cup U_2= X$; si $U_1$ et $U_2$ sont ouverts dans X, cela démontre que $(Y, p)$ est un revêtement de X. Il en est de même lorsque $U_1$ et $U_2$ sont fermés dans X car alors, X-A et X-B sont des ouverts de X dont la réunion est X. La proposition est ainsi démontrée.

Soient $X_1$ et $X_2$ les adhérences de A et de X-A respectivement. Les ensembles $X_1$ et $X_2$ sont fermés et connexes (TG, I, p. 81, prop. 1) ; on a $X_1\cup X_2= X$ et leur intersection $X_1\cap X_2$ est égale à la frontière de A. Il suffit alors d’appliquer la proposition 7.

On peut supposer que B n’est pas vide. Soit $x$ un point de $E_t$. D’après la proposition 3 de I, p. 125 appliquée au revêtement E et à l’application continue $T\rightarrow B\times T,u\mapsto (p_t(x), u)$, il existe une unique application continue $f_x: T\rightarrow E$ telle que $f_x(t) =x$ et $p(f_x(u)) =$ $(p_t(x), u)$ pour tout $u\in T$. Soit $h: E_t\times T\rightarrow E$ l’application définie par $h(x, u) =f_x(u)$. On a $h(x, t) =x$ et $p\circ h=p_t\times$ Id$_T$. L’application $h$ est un relèvement à E de l’application $p_t\times$ Id$_T$. La restriction de $h$ à $E_t\times \{t\}$ est continue, de même que la restriction de $h$ à $\{x\} \times T$ pour tout point $x$ de $E_t$. Comme l’espace T est localement connexe, l’application $h$ est continue ( I, p. 37, cor. 1 du th. 1).

Soit $b$ un point de B. Par construction, l’application $h$ induit une bijection de la fibre $\overset{-1}{p_{t}}(b)\times \{t\}$ de $E_t\times T$ sur la fibre $\overset{-1}{p}(b, t)$ de E en $(b, t)$. Comme l’espace T est connexe et localement connexe, l’application $h$ est bijective (I, p. 84, cor. de la prop. 7). C’est donc un $B\times T$-isomorphisme (I, p. 30, cor. 2 de la prop. 6).

Soit $h'$ un $(B\times T)$-isomorphisme du revêtement $(E_t\times T, p_t\times$ Id$_T)$ sur le revêtement E qui applique $(x, t)$ sur $x$ pour tout point $x\in E_t$. Pour tout $x\in E_t$, les applications $u\mapsto h(x, u)$ et $u\mapsto h'(x, u)$ sont égales (I, p. 34, cor. 1 de la prop. 11). On a donc $h=h'$.

D’après la proposition 8, on peut supposer qu’il existe des revêtements F et $F'$ de B tels que E et $E'$ soient respectivement les $(B\times T)$-espaces $F\times T$ et $F'\times T$. On a alors $E_t= F\times \{t\},E'_t= F'\times \{t\}$ et l’application $k$ s’écrit $(x, t)\mapsto (k'(x), t)$, où $k'$ est un B-morphisme de F dans $F'$. L’application $k'\times$Id$_T$ est un $B\times T$-morphisme qui prolonge $k$; c’est un isomorphisme si $k$ en est un.

Soit $\widetilde{k}: E\rightarrow E'$ un $(B\times T)$-morphisme qui prolonge $k$. Soit $x$ un point de F. Notons $q$ la projection de F et posons $b=q(x)$. Les applications $u\mapsto \widetilde{k}(x, u)$ et $u\mapsto (k'(x), u)$ sont des relèvements dans $E'$ de l’application $u\mapsto (b, u)$ de T dans $B\times T$. Elles coïncident en $t$. Comme l’espace T est connexe, elles sont égales. Ainsi, $\widetilde{k}$ est le $(B\times T)$-morphisme $k'\times$ Id$_T: F\times T\rightarrow F'\times T$.

Compte tenu de la prop. 3 de I, p. 9, il s’agit de démontrer que toute section continue de $f^*(E)$ au-dessus de $B'\times \{t\}$ se prolonge de manière unique en une section continue de $f^*(E)$. Or cela résulte du cor. 2 appliqué aux revêtements $(B'\times T$, Id$_{B'\times T})$ et $f^*E$ de $B'\times T$.