Bài tập 3, § 6

[^1] Cho $A$ là một tập con đóng của mặt phẳng số $\mathbf{R}^2$ đồng phôi với $\mathbf{R}$. (a) Chứng minh rằng tồn tại một đồng phôi $g:\mathbf{R}^3\rightarrow \mathbf{R}^3$ sao cho, với mọi $t\in \mathbf{R}$, tập hợp $g(A\times \{0\})\cap (\mathbf{R}^2\times \{t\})$ chỉ gồm một phần tử.

(b) Chứng minh rằng tồn tại một đồng phôi $h:\mathbf{R}^3\rightarrow \mathbf{R}^3$ biến $A\times \{0\}$ thành đường thẳng $D =\{(0,0)\} \times \mathbf{R}$.

(c) Chứng minh rằng $\mathbf{R}^3-$ D không liên thông đơn.

(d) Chứng minh rằng $\mathbf{R}^2-$ A không liên thông.

[^1]: Bài tập này và bài tập tiếp theo là của P. H. Doyle, « Plane separation », Proc. Camb. Phil. Soc. 64 (1968), p. 291.