Exercice 3, § 6

[^1] Soit A une partie fermée du plan numérique $\mathbf{R}^2$ qui est homéomorphe à $\mathbf{R}$. a) Démontrer qu’il existe un homéomorphisme $g:\mathbf{R}^3\rightarrow \mathbf{R}^3$ tel que, pour tout $t\in \mathbf{R}$, l’ensemble $g(A\times \{0\})\cap (\mathbf{R}^2\times \{t\})$ soit réduit à un élément.

b) Démontrer qu’il existe un homéomorphisme $h:\mathbf{R}^3\rightarrow \mathbf{R}^3$ qui applique $A\times \{0\}$ sur la droite $D =\{(0,0)\} \times \mathbf{R}$.

c) Démontrer que $\mathbf{R}^3-$ D n’est pas simplement connexe.

d) Démontrer que $\mathbf{R}^2-$ A n’est pas connexe.

[^1]: Cet exercice et le suivant sont dus à P. H. Doyle, « Plane separation », Proc. Camb. Phil. Soc. 64 (1968), p. 291.