Bài tập 5, § 6

Gọi G là nhóm con của $\mathbf{G}\mathbf{L}(2,\mathbf{R})$ tạo bởi các ma trận có định thức dương và $\mathbf{H}$ là tập hợp các số phức có phần ảo dương ngặt (“nửa mặt phẳng Poincaré”). Đặt $\Gamma =\mathbf{S}\mathbf{L}(2,\mathbf{Z})$.

a) Chứng minh rằng ta cho G tác động trên $\mathbf{H}$ bằng cách đặt

b) Gọi M là tập hợp các số phức $z=x+iy\in \mathbf{H}$ sao cho $0\leqslant x\leqslant 1$ và $(x-1)^2+y^2\geqslant 1$. Chứng minh rằng họ $(g\cdot M)_{g\in\Gamma}$ là một phủ hữu hạn địa phương của $\mathbf{H}$ bởi các tập hợp đóng.

c) Đặt A = $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ và B = $\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ . Kiểm tra rằng $A^2$ = $B^3=-I$. Chứng minh rằng $\langle A,B,C ; A^2= B^3= C,C^2= 1\rangle$ là một biểu diễn của nhóm Γ. (Áp dụng mệnh đề 10 của I, p. 136.)

d) Chứng minh rằng nhóm thương $\Gamma /\{\pm I\}$ có biểu diễn $\langle A,B ; A^2= B^3= 1\rangle$.