Exercice 5, § 6

Soit G le sous-groupe de $\mathbf{G}\mathbf{L}(2,\mathbf{R})$ formé des matrices de déterminant positif et soit $\mathbf{H}$ l’ensemble des nombres complexes de partie imaginaire strictement positive (« demi-plan de Poincaré »). On pose $\Gamma =\mathbf{S}\mathbf{L}(2,\mathbf{Z})$.

a) Démontrer que l’on fait opérer G sur $\mathbf{H}$ en posant

b) Soit M l’ensemble des nombres complexes $z=x+iy\in \mathbf{H}$ tels que $0\leqslant x\leqslant 1$ et $(x-1)^2+y^2\geqslant 1$. Démontrer que la famille $(g\cdot M)_{g\in\Gamma}$ est un recouvrement localement fini de $\mathbf{H}$ par des parties fermées.

c) On pose A = $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ et B = $\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ . Vérifier que $A^2$ = $B^3=-I$. Démontrer que $\langle A,B,C ; A^2= B^3= C,C^2= 1\rangle$ est une présentation du groupe Γ. (Appliquer la prop. 10 de I, p. 136.)

d) Démontrer que le groupe quotient $\Gamma /\{\pm I\}$ possède la présentation $\langle A,B ; A^2= B^3= 1\rangle$.