Bài tập 8, § 1

Đặt $P(s) =x_sA_Q$ với $s\in$ Som(Q). Cho M là một $A_Q$-môđun.

a) Cho $f\in$ Fl(Q), ký hiệu $u=o(f)$ và $v=t(f)$. Chứng minh rằng tồn tại một cặp duy nhất $(\varphi '_f, \varphi ''_f)$ các đồng cấu của các $A_Q$-môđun

sao cho $\varphi '_f(m\otimes p) =m\otimes x_fp$ và $\varphi ''_f(m\otimes p) =mx_f\otimes p$ với mọi $m\in Mx_u$ và mọi $p\in P(v)$.

b) Cho $s\in$ Som(Q). Chứng minh rằng tồn tại một đồng cấu duy nhất của các $A_Q$-môđun $\psi_s: Mx_s\otimes_kP(s)\rightarrow M$ sao cho $\psi_s(m\otimes p) =mp$ với $p\in P(s)$ và $m\in Mx_s$. c) Đặt $\varphi =\bigoplus\varphi '_f-\bigoplus\varphi ''_f$ và $\psi =\sum\psi_s$. Chứng minh rằng có một dãy khớp của các $A_Q$-môđun

$f\in$Fl(Q) $s\in$Som(Q)

d) Chứng minh rằng mọi iđêan phải của đại số $A_Q$ là xạ ảnh.