Exercice 8, § 1

Pour $s\in$ Som(Q), on pose $P(s) =x_sA_Q$. Soit M un $A_Q$-module.

a) Soit $f\in$ Fl(Q), notons $u=o(f)$ et $v=t(f)$. Démontrer qu’il existe un unique couple $(\varphi '_f, \varphi ''_f)$ d’homomorphismes de $A_Q$-modules

tel que $\varphi '_f(m\otimes p) =m\otimes x_fp$ et $\varphi ''_f(m\otimes p) =mx_f\otimes p$ pour tout $m\in Mx_u$ et tout $p\in P(v)$.

b) Soit $s\in$ Som(Q). Démontrer qu’il existe un unique homomorphisme de $A_Q$-modules $\psi_s: Mx_s\otimes_kP(s)\rightarrow M$ tel que $\psi_s(m\otimes p) =mp$ pour $p\in P(s)$ et $m\in Mx_s$. c) On pose $\varphi =\bigoplus\varphi '_f-\bigoplus\varphi ''_f$ et $\psi =\sum\psi_s$. Démontrer que l’on a une suite exacte de $A_Q$-modules

$f\in$Fl(Q) $s\in$Som(Q)

d) Démontrer que tout idéal à droite de l’algèbre $A_Q$ est projectif.