Bài tập 12, § 3

Cho G là một nhóm, S là tập hợp các nhóm con của G và F là tập hợp các tập con X của G sao cho tồn tại một nhóm con H của G và một phần tử $g$ của G sao cho $X =gH$.

(a) Cho $\mu$ là ánh xạ từ $G\times G\times G$ vào G được xác định bởi $\mu(x, y, z) =xy^{-1}z$. Chứng minh rằng một tập con khác rỗng X của G thuộc tập hợp F khi và chỉ khi $\mu(X\times X\times X)\subset X$.

(b) Bây giờ chứng minh rằng, bằng cách đặt $o(X) =g^{-1}X$ và $t(X) = Xg^{-1}$, với mọi phần tử $g$ của X, người ta xác định được các ánh xạ $o: F\rightarrow S$ và $t: F\rightarrow S$.

(c) Nếu $X_1$ và $X_2$ là các phần tử của S sao cho $t(X_1) =o(X_2)$, hãy đặt $m(X_1,X_2) = X_1X_2$. Chứng minh rằng ánh xạ $m$ là một luật hợp thành trong carquois $(S,F, o, t)$ khiến nó trở thành một groupoid (« Baer groupoid »). Nó được ký hiệu là Ba(G).

(d) Chứng minh rằng các quỹ đạo của Ba(G) là các lớp liên hợp của các nhóm con của G.

(e) Chứng minh rằng nhóm đẳng hướng của Ba(G) tại một phần tử H của S là đẳng cấu với nhóm thương $N(H)/H$.