§ 3. Groupoid

1. Phạm trù

Cho C là một đồ thị có hướng được trang bị một luật hợp thành $m$. Hai mũi tên $f$ và $g$ sao cho $t(f) =o(g)$ được gọi là hợp thành được; mũi tên $m(f, g)$ được gọi là hợp thành của chúng, hoặc tích của chúng, và thường được ký hiệu bởi $f\cdot g$, hoặc thậm chí bởi $f g$.

Với mỗi đỉnh $a$ của C, tập hợp $C_{a,a}$ = Fl$_{a,a}(C)$, được trang bị ánh xạ suy ra từ $m$ bằng cách chuyển qua các tập con, là một magma (A, I, p. 1, Def. 1).

Người ta nói rằng một họ $(f_i)_{i\in I}$ các mũi tên của C, được đánh chỉ số bởi một tập sắp thứ tự toàn phần hữu hạn khác rỗng I, là hợp thành được nếu, với mọi cặp $(i, j)$ các phần tử liên tiếp của I, các mũi tên $f_i$ và $f_j$ là hợp thành được. Tích $\prod_{i\in I}f_i$ của một họ như vậy được định nghĩa bằng quy nạp theo lực lượng của I theo cách sau (xem A, I, p. 3):

(i) nếu I chỉ có một phần tử $\omega ,\prod_{i\in I}f_i=f_{\omega}$;

(ii) nếu I có ít nhất hai phần tử và nếu $\omega$ là phần tử nhỏ nhất của I, đặt $\prod_{i\in I}f_i=f_{\omega}\cdot \prod_{i\in I-\{\omega\}}f_i$.

Luật hợp thành $m$ được gọi là kết hợp nếu ta có $f\cdot (g\cdot h) =$ $(f\cdot g)\cdot h$ với mọi bộ ba hợp thành được $(f, g, h)$ các mũi tên của C. Khi luật $m$ là kết hợp, tích của một dãy $(f_1, . . . , f_n)$ gồm $n$ mũi tên hợp thành được, trong đó $n$ là một số nguyên $\geqslant 1$, được ký hiệu bởi $f_1f_2. . . f_n$.

Cho $a$ là một đỉnh của C. Người ta nói rằng một mũi tên $e\in C_{a,a}$ là một phần tử đơn vị của $m$ tại $a$ nếu ta có $ef=f$ với mọi mũi tên $f$ có gốc là $a$ và $ge=g$ với mọi mũi tên $g$ có đích là $a$. Tồn tại nhiều nhất một phần tử đơn vị của $m$ tại $a:$ nếu $e$ và $e'$ là hai phần tử như vậy, thì ta có $e'=ee'=e$. Khi một phần tử đơn vị như vậy tồn tại, nó thường được ký hiệu bởi $e_a$; khi đó nó là một phần tử đơn vị của magma $C_{a,a}$ (A, I, p. 12).

2. Hàm tử

Cho C và $C'$ là các phạm trù và cho $\varphi : C\rightarrow C'$ là một hàm tử. Cho $f$ là một mũi tên của C$,a$ là gốc của nó và $b$ là đích của nó; khi đó, $\varphi (f)$ là một mũi tên của $C'$ có gốc là $\varphi (a)$ và đích là $\varphi (b)$.

Cho C, $C',C''$ là các phạm trù và cho $\varphi : C\rightarrow C'$ và $\varphi ': C'\rightarrow C''$ là các hàm tử. Khi đó, $\varphi '\circ \varphi$ là một hàm tử.

Cho C là một phạm trù. Khi đó cấu xạ của đồ thị có hướng Id$_C$ là một hàm tử.

Cho $\varphi : C\rightarrow C'$ là một hàm tử. Để $\varphi$ là một đẳng cấu, điều kiện cần và đủ là các ánh xạ Som($\varphi$ ) và Fl($\varphi$ ) là song ánh.

Vì vậy, nếu người ta gọi một cấu trúc phạm trù trên các tập hợp S và F là dữ liệu của một cấu trúc đồ thị có hướng trên các tập hợp đó và của một luật hợp thành kết hợp mà tại mỗi đỉnh đều tồn tại một phần tử đơn vị, thì có thể lấy các hàm tử làm các cấu xạ của cấu trúc phạm trù (E, IV, p. 11).

3. Groupoid

Cho G là một groupoid và cho $a$ là một đỉnh của G. Monoid $G_{a,a}$ là một nhóm, ký hiệu bởi $G_a$ và được gọi là nhóm đẳng hướng của G tại $a$.

Cho $a,b$ là các đỉnh của G và cho $f\in G_{a,b}$ là một mũi tên nối $a$ với $b$. Ánh xạ $g\mapsto f gf^{-1}$ là một đẳng cấu nhóm từ $G_b$ lên $G_a$, ký hiệu là Int($f$). Nếu $f$ và $f'$ là các mũi tên hợp thành được của G, ta có Int($f f'$) $=$ Int($f$)$\circ$ Int($f'$) ; nghịch đảo của đẳng cấu Int($f$) là đẳng cấu Int($f^{-1}$).

Một cấu xạ của các groupoid $\varphi : G\rightarrow G'$ là một cấu xạ của các phạm trù. Hơn nữa, $\varphi$ là một đẳng cấu của các groupoid nếu và chỉ nếu nó là một đẳng cấu của các phạm trù.

Cho $\varphi : G\rightarrow G'$ là một cấu xạ của các groupoid. Với mọi đỉnh $a$ của G, ánh xạ $f\mapsto \varphi (f)$ từ $G_a$ vào $(G')_{\varphi(a)}$ là một đồng cấu nhóm, ký hiệu bởi $\varphi_a$. Đặc biệt, ta có $\varphi (e_a) =e_{\varphi(a)}$.

Với mọi mũi tên $f$ của G$,\varphi (f^{-1})$ là nghịch đảo của $\varphi (f)$. Nếu $f$ là một mũi tên của G nối một đỉnh $a$ với một đỉnh $b$, do đó ta có, với mọi phần tử $g\in G_b$, quan hệ Int($\varphi (f)$)$(\varphi (g)) =\varphi$(Int($f$)$(g)$).

4. Quỹ đạo của một groupoid

Cho G là một groupoid. Các thành phần liên thông của đồ thị có hướng nền của G được gọi là các quỹ đạo của G. Tập hợp các quỹ đạo của G được ký hiệu là Orb(G); nếu $\varphi : G\rightarrow G'$ là một cấu xạ của các groupoid, ánh xạ $\pi_0(\varphi )$ suy ra từ $\varphi$ bằng cách chuyển qua các thành phần liên thông của các đồ thị liên kết nói trên nói chung được ký hiệu là Orb($\varphi$ ) và được gọi là ánh xạ suy ra từ $\varphi$ bằng cách chuyển qua các quỹ đạo.

Một groupoid chỉ có đúng một quỹ đạo được gọi là bắc cầu. Nếu G là một groupoid bắc cầu, thì các nhóm $G_a$, với $a\in$ Som(G), là đẳng cấu. Người ta nói rằng groupoid G là đơn bắc cầu nếu nó là bắc cầu và hơn nữa, các nhóm đẳng hướng $G_a$ đều thu về phần tử đơn vị của chúng.

5. Ví dụ về các groupoid

1) Cho G là một nhóm. Ký hiệu bởi $\mathscr{G}$ đồ thị có hướng mà tập hợp các đỉnh thu về một phần tử và tập hợp các mũi tên là G. Được trang bị luật hợp thành cảm sinh từ luật của G$,\mathscr{G}$ là một groupoid, gọi là groupoid liên kết với nhóm G.

2) Cho X là một tập hợp. Cho G là đồ thị có hướng $(X,X\times X$, pr$_1$, pr$_2)$; định nghĩa một luật hợp thành trên G bằng cách đặt $(x, x')\cdot (x', x'') = (x, x'')$, nếu $x, x', x''$ là các phần tử của X. Luật này là kết hợp; với mọi $x\in X$, $(x, x)$ là phần tử đơn vị tại $x$; nghịch đảo của mũi tên $(x, x')$ là mũi tên $(x', x)$. Groupoid được định nghĩa như vậy được gọi là groupoid các cặp của tập hợp X. Nếu X không rỗng, nó là đơn bắc cầu.

3) Cho X và S là các tập hợp và cho $p: X\rightarrow S$ là một ánh xạ. Với $a\in S$, đặt $X_a=\overset{-1}{p}(a)$. Với $a$ và $b$ trong S, đặt $G_{a,b}$ là tập hợp $\mathscr{B}(X_a; X_b)$ các song ánh từ $X_a$ lên $X_b$ và đặt G là tổng của các tập hợp $G_{a,b}$. Cho $o$ và $t$ là các ánh xạ từ G vào S sao cho $o(f) =a$ và $t(f) =b$ với mọi phần tử $f\in G_{a,b}$. Bộ bốn $(S,G, o, t)$ là một đồ thị có hướng. Trang bị cho nó luật hợp thành được định nghĩa bởi $m(f, g) =g\circ f$ nếu $f\in \mathscr{B}(X_a; X_b)$ và $g\in \mathscr{B}(X_b; X_c)$, trong đó $a, b, c$ là các điểm của S. Đó là một groupoid; nó được ký hiệu là $\mathscr{B}(X, p)$ và được gọi là groupoid các phép thế của X đối với $p$.

4) Cho $(G_i)_{i\in I}$ là một họ các vị nhóm. Ký hiệu G là tích đồ thị có hướng của họ các đồ thị có hướng nền; với mỗi $i\in I$, ký hiệu pr$_i: G\rightarrow G_i$ là cấu xạ đồ thị có hướng chính tắc. Tồn tại duy nhất một luật hợp thành trên G sao cho G là một vị nhóm và sao cho, với mỗi $i\in I$, pr$_i$ là một cấu xạ vị nhóm. Cho $f= (f_i)_{i\in I}$ và $g= (g_i)_{i\in I}$ là các mũi tên của G; chúng hợp thành được nếu và chỉ nếu các mũi tên $f_i$ và $g_i$ hợp thành được, với $i\in I$. Khi đó có $f g= (f_ig_i)_{i\in I}$.

Đồ thị có hướng G, được trang bị luật hợp thành này, được gọi là vị nhóm tích của họ $(G_i)_{i\in I}$. Nó thỏa mãn tính chất phổ quát sau: với mọi vị nhóm $G'$ và mọi họ $(\varphi_i)_{i\in I}$, trong đó $\varphi_i$ là một cấu xạ vị nhóm từ $G'$ vào $G_i$, tồn tại duy nhất một cấu xạ vị nhóm $\varphi : G'\rightarrow G$ sao cho $\varphi_i=$ pr$_i\circ \varphi$ với mỗi $i\in I$.

5) Cho $((G_i)_{i\in I},(\varphi_{i,j})_{i\prec j})$ là một hệ quy nạp các vị nhóm, được đánh chỉ số bởi một tập tiền thứ tự lọc phải $(I,\prec )$, các $\varphi_{i,j}$ là những cấu xạ vị nhóm. Cho G là đồ thị có hướng mà tập các đỉnh là lim$\longrightarrow_i$ Som(G$_i$), tập các mũi tên là lim$\longrightarrow_i$ Fl(G$_i$), các ánh xạ nguồn và đích lần lượt là các ánh xạ lim$\longrightarrow_io_{G_i}$ và lim$\longrightarrow_it_{G_i}$. Các luật hợp thành của các $G_i$ cảm sinh một luật hợp thành trên G làm cho nó thành một vị nhóm (xem A, I, p. 114). Các ánh xạ chính tắc Som(G$_i$)$\rightarrow$ Som(G) và Fl(G$_i$)$\rightarrow$ Fl(G) xác định một cấu xạ vị nhóm $\varphi_i$ từ $G_i$ vào G. Nếu $i,j$ là các phần tử của I sao cho $i\prec j$, thì có $\varphi_j\circ \varphi_{i,j}=\varphi_i$. Vị nhóm G được gọi là giới hạn quy nạp của họ các vị nhóm $G_i$ và được ký hiệu bởi lim$\longrightarrow_iG_i$. Nó thỏa mãn tính chất phổ quát sau: với mọi vị nhóm H và mọi họ $(\psi_i)_{i\in I}$, trong đó, với $i\in I,\psi_i: G_i\rightarrow H$ là một cấu xạ vị nhóm, sao cho $\psi_j\circ \varphi_{i,j}=\psi_i$ với mọi cặp $(i, j)$ các phần tử của I sao cho $i\prec j$, tồn tại duy nhất một cấu xạ vị nhóm $\psi : G\rightarrow H$ sao cho $\psi_i=\psi \circ \varphi_i$.

Về sự tồn tại của một vị nhóm thỏa mãn tính chất phổ quát này khi không giả sử rằng tập I là lọc phải, xem II, p. 228, exerc. 3.

6. Vị nhóm con

(i) Với mọi đỉnh $a$ của D$,e_a$ là một mũi tên của D;

(ii) Với mọi cặp hợp thành được $(f, g)$ các mũi tên của C thuộc D, tích $f g$ là một mũi tên của D;

Cho C là một phạm trù và cho D là một phạm trù con của D; được trang bị luật hợp thành suy ra từ luật hợp thành của C bằng cách chuyển qua các tập con, D là một phạm trù.

Mọi đồ thị có hướng con đầy đủ của C đều là một phạm trù con của C. Giao của một họ các phạm trù con của C là một phạm trù con của C.

Cho G là một vị nhóm. Mọi vị nhóm con của G đều là một vị nhóm. Mọi đồ thị có hướng con đầy đủ của G đều là một vị nhóm con của G. Giao của một họ các vị nhóm con của G là một vị nhóm con của G.

Cho H là một đồ thị có hướng con của G. Giao của các vị nhóm con của G mà H là một đồ thị có hướng con được gọi là vị nhóm con của G sinh bởi H. Tập các đỉnh của nó bằng tập các đỉnh của H và các quỹ đạo của nó là các thành phần liên thông của H.

7. Các phép toán của một groupoid

Cho G là một groupoid; gọi S là tập đỉnh của nó. Cho X là một tập hợp và cho $p: X\rightarrow S$ là một ánh xạ. Một phép toán (phải) $\varphi$ của groupoid G trên tập hợp X, đối với $p$, là một cấu xạ groupoid $\varphi$ từ G vào groupoid $\mathscr{B}(X, p)$ các hoán vị của tập hợp X đối với $p($II, p. 163) cảm sinh đồng nhất trên tập đỉnh. Nói cách khác, $\varphi$ gồm, với mỗi cặp $(a, b)$ điểm của S và với mỗi mũi tên $g\in G$ nối $a$ với $b$, một ánh xạ $\varphi (g): X_a\rightarrow X_b$, sao cho, với mọi cặp $(f, g)$ mũi tên ghép được của G,

và sao cho, với mọi $a\in S,\varphi (e_a)$ là đồng nhất của $X_a$.

Cho $\varphi$ và $\varphi '$ là các phép toán của groupoid G trên một tập hợp X, đối với một ánh xạ $p: X\rightarrow S$. Để có $\varphi =\varphi '$, chỉ cần tồn tại một đồ thị có hướng con H của G, sinh ra G, sao cho $\varphi (f) =\varphi '(f)$ với mọi $f\in$ Fl(H). Thật vậy, tập các mũi tên $f$ của G sao cho $\varphi (f) =\varphi '(f)$ là tập các mũi tên của một groupoid con của G, có tập đỉnh là S.

Cho G là một groupoid có tập đỉnh là S, cho X là một tập hợp, cho $p: X\rightarrow S$ là một ánh xạ, và cho $\varphi$ là một phép toán của G trên X đối với $p$. Gọi $G_{\varphi}$ là đồ thị có hướng con của $p^*(G)$ có tập đỉnh là X và có tập mũi tên là tập các bộ ba $(x, f, y)\in X\times$ Fl(G) $\times X$ sao cho $\varphi (f)(x) =y$. Nó là một groupoid con của $p^*(G)$.

Ngược lại, cho Γ là một nhóm vị con của $p^*(G)$; giả sử rằng ánh xạ $(x, f, y)\mapsto (x, f)$ từ Fl(Γ) vào $X\times$ Fl(G) là đơn ánh và ảnh của nó là tập hợp các cặp $(x, f)$ sao cho $p(x) =o(f)$. Khi đó tồn tại một phép toán duy nhất $\varphi$ của nhóm vị G trên X sao cho $\Gamma = G_{\varphi}$.

Các quỹ đạo của nhóm vị $G_{\varphi}$ được gọi là các quỹ đạo của phép toán của G trên X. Theo định nghĩa, chúng là các lớp tương đương của quan hệ trong X được xác định bởi $R\{x, y\}$ khi và chỉ khi tồn tại $f\in$ Fl(G) sao cho $\varphi (f)(x) =y$.

8. Nhóm Vị Chuẩn Tắc; Nhóm Vị Thương

Cho G là một phân thớ và cho H là một phân thớ con của G mà tập các đỉnh bằng Som(G). Để kiểm tra rằng H là bất biến, chỉ cần chứng minh rằng $fH_bf^{-1}\subset H_a$ với mọi $a\in$ Som(G), mọi $b\in$ Som(G) và mọi $f\in G_{a,b}$. Thật vậy, nếu như vậy thì cũng có $f^{-1}H_af\subset H_b$ với mọi mũi tên $f\in G_{b,a}$, nghĩa là, $H_a\subset fH_bf^{-1}$, và do đó $fH_bf^{-1}= H_a$.

Cho G là một phân thớ và cho H là một phân thớ con bất biến của G. Với mọi đỉnh $a$ của G, nhóm con $H_a$ của $G_a$ là một nhóm con bất biến của $G_a$.

Cho $\varphi : G\rightarrow G'$ là một cấu xạ các phân thớ. Hạt nhân của $\varphi ($II, p. 166, ví dụ 5) là một phân thớ con bất biến của G. Thật vậy, cho $f$ là một mũi tên trong G nối $a$ với $b$ và cho $g\in$ Ker($\varphi$ )$_b$; khi đó ta có $\varphi (f gf^{-1}) =\varphi (f)\varphi (g)\varphi (f^{-1}) =\varphi (f)e_{\varphi(b)}\varphi (f)^{-1}=e_{\varphi(a)}$, do đó có bao hàm thức $f$Ker($\varphi$ )$_bf^{-1}\subset$ Ker($\varphi$ )$_a$.

Cho G là một phân thớ. Phân thớ G và phân thớ con của G mà tập các mũi tên là tập các phần tử đơn vị của G là những phân thớ con bất biến của G. Giao của một họ các phân thớ con bất biến của G là một phân thớ con bất biến của G. Đặc biệt, với mọi tập con $F\subset$ Fl(G), tồn tại một phân thớ con bất biến nhỏ nhất của G mà tập các mũi tên chứa F. Nó được gọi là phân thớ con bất biến sinh bởi F.

Cho H là một phân thớ con bất biến của G. Cho $\mathscr{R}$ là quan hệ tương đương trong Fl(G) được xác định bởi $\mathscr{R}\{f, g\}$ khi và chỉ khi tồn tại các mũi tên $x$ và $y$ trong Fl(H) sao cho $f=xgy$. Nếu $f$ và $g$ là các mũi tên của G tương đương theo môđun $\mathscr{R}$, thì các gốc của chúng (resp. các ngọn của chúng) thuộc cùng một quỹ đạo của H. Đặt $F'=$ Fl(G)$/\mathscr{R}$ và ký hiệu bởi $o'$ và $t'$ các ánh xạ từ $F'$ vào Orb(H) suy ra từ $o$ và $t$ bằng cách chuyển qua các thương. Ký hiệu bởi $G/H$ đồ thị có hướng (Orb(H)$,F', o', t'$).

9. Groupoid các lớp đường đi của một đồ thị

Cho G là một đồ thị. Ký hiệu bởi $\Omega_G$ phạm trù các đường đi của quiver nền của G (II, p. 160, ví dụ 1). Xét quan hệ tương đương tinh nhất $\mathscr{R}$ trên Ch(G) sao cho ta có:

(i) Với mọi cặp $(a, b)$ đỉnh của G và mọi mũi tên $f$ trong G nối $a$ với $b$, các đường đi $(a, f, b,\overline{f}, a)$ và $e_a$ là tương đương modulo $\mathscr{R}$;

(ii) Nếu $(c, d)$ và $(c', d')$ là các cặp đường đi kề nhau trong G sao cho $\mathscr{R}\{c, c'\}$ và $\mathscr{R}\{d, d'\}$, thì các đường đi $c*d$ và $c'*d'$ là tương đương modulo $\mathscr{R}$.

Hai đường đi tương đương modulo $\mathscr{R}$ có cùng gốc và cùng ngọn. Các ánh xạ $o$ và $t$ từ Ch(G) vào Som(G) xác định, khi chuyển qua thương, các ánh xạ $o'$ và $t'$ từ Ch(G)$/\mathscr{R}$ vào Som(G). Ta ký hiệu bởi $\varpi_G$ quiver (Som(G), Ch(G)$/\mathscr{R}, o', t'$). Cặp $\varphi$ gồm ánh xạ đồng nhất của Som(G) và phép chiếu chính tắc của Ch(G) lên Ch(G)$/\mathscr{R}$ là một cấu xạ của các quiver từ $\Omega_G$ vào $\varpi_G$. Phép ghép các đường đi trong Ch(G) xác định, khi chuyển qua các thương, một luật hợp thành trong $\varpi_G$.