§ 3. Groupoïdes

1. Catégories

Soit C un carquois muni d’une loi de composition $m$. Deux flèches $f$ et $g$ telles que $t(f) =o(g)$ sont dites composables ; la flèche $m(f, g)$ s’appelle leur composée, ou leur produit, et se note souvent $f\cdot g$, voire $f g$.

Pour tout sommet $a$ de C, l’ensemble $C_{a,a}$ = Fl$_{a,a}(C)$, muni de l’application déduite de $m$ par passage aux sous-ensembles, est un magma (A, I, p. 1, déf. 1).

On dit qu’une famille $(f_i)_{i\in I}$ de flèches de C, indexée par un ensemble fini non vide totalement ordonné I, est composable si, pour tout couple $(i, j)$ d’éléments consécutifs de I, les flèches $f_i$ et $f_j$ sont composables. On définit le produit $\prod_{i\in I}f_i$ d’une telle famille par récurrence sur le cardinal de I de la façon suivante (cf. A, I, p. 3) :

(i) si I a un seul élément $\omega ,\prod_{i\in I}f_i=f_{\omega}$;

(ii) si I a au moins deux éléments et si $\omega$ est le plus petit élément de I, on pose $\prod_{i\in I}f_i=f_{\omega}\cdot \prod_{i\in I-\{\omega\}}f_i$.

La loi de composition $m$ est dite associative si l’on a $f\cdot (g\cdot h) =$ $(f\cdot g)\cdot h$ pour tout triplet $(f, g, h)$ composable de flèches de C. Lorsque la loi $m$ est associative, le produit d’une suite $(f_1, . . . , f_n)$ de $n$ flèches composables, où $n$ est un entier $\geqslant 1$, se note $f_1f_2. . . f_n$.

Soit $a$ un sommet de C. On dit qu’une flèche $e\in C_{a,a}$ est un élément neutre de $m$ en $a$ si l’on a $ef=f$ pour toute flèche $f$ d’origine $a$ et $ge=g$ pour toute flèche $g$ de terme $a$. Il existe au plus un élément neutre de $m$ en $a:$ si $e$ et $e'$ en sont deux, on a $e'=ee'=e$. Lorsqu’un tel élément neutre existe, on le note souvent $e_a$; c’est alors un élément neutre du magma $C_{a,a}$ (A, I, p. 12).

2. Foncteurs

Soient C et $C'$ des catégories et soit $\varphi : C\rightarrow C'$ un foncteur. Soient $f$ une flèche de C$,a$ son origine et $b$ son terme ; alors, $\varphi (f)$ est une flèche de $C'$ d’origine $\varphi (a)$ et de terme $\varphi (b)$.

Soient C, $C',C''$ des catégories et soient $\varphi : C\rightarrow C'$ et $\varphi ': C'\rightarrow C''$ des foncteurs. Alors, $\varphi '\circ \varphi$ est un foncteur.

Soit C une catégorie. Alors le morphisme de carquois Id$_C$ est un foncteur.

Soit $\varphi : C\rightarrow C'$ un foncteur. Pour que $\varphi$ soit un isomorphisme, il faut et il suffit que les applications Som($\varphi$ ) et Fl($\varphi$ ) soient bijectives.

Ainsi, si l’on appelle structure de catégorie sur des ensembles S et F la donnée d’une structure de carquois sur ces ensembles et d’une loi de composition associative pour laquelle il existe en chaque sommet un élément neutre, on peut prendre les foncteurs pour morphismes de la structure de catégorie (E, IV, p. 11).

3. Groupoïdes

Soit G un groupoïde et soit $a$ un sommet de G. Le monoïde $G_{a,a}$ est un groupe, que l’on note $G_a$ et qu’on appelle le groupe d’isotropie de G en $a$.

Soient $a,b$ des sommets de G et soit $f\in G_{a,b}$ une flèche reliant $a$ à $b$. L’application $g\mapsto f gf^{-1}$ est un isomorphisme de groupes de $G_b$ dans $G_a$, que l’on note Int($f$). Si $f$ et $f'$ sont des flèches composables de G, on a Int($f f'$) $=$ Int($f$)$\circ$ Int($f'$) ; l’inverse de l’isomorphisme Int($f$) est l’isomorphisme Int($f^{-1}$).

Un morphisme de groupoïdes $\varphi : G\rightarrow G'$ est un morphisme de catégories. De plus, $\varphi$ est un isomorphisme de groupoïdes si et seulement si c’est un isomorphisme de catégories.

Soit $\varphi : G\rightarrow G'$ un morphisme de groupoïdes. Pour tout sommet $a$ de G, l’application $f\mapsto \varphi (f)$ de $G_a$ dans $(G')_{\varphi(a)}$ est un homomorphisme de groupes que l’on note $\varphi_a$. On a en particulier $\varphi (e_a) =e_{\varphi(a)}$.

Pour toute flèche $f$ de G$,\varphi (f^{-1})$ est l’inverse de $\varphi (f)$. Si $f$ est une flèche de G reliant un sommet $a$ à un sommet $b$, on a ainsi, pour tout élément $g\in G_b$, la relation Int($\varphi (f)$)$(\varphi (g)) =\varphi$(Int($f$)$(g)$).

4. Orbites d’un groupoïde

Soit G un groupoïde. Les composantes connexes du carquois sous-jacent à G sont appelées orbites de G. L’ensemble des orbites de G est noté Orb(G); si $\varphi : G\rightarrow G'$ est un morphisme de groupoïdes, l’application $\pi_0(\varphi )$ déduite de $\varphi$ par passage aux composantes connexes des graphes associés est en général notée Orb($\varphi$ ) et appelée l’application déduite de $\varphi$ par passage aux orbites.

Un groupoïde qui a exactement une orbite est dit transitif . Si G est un groupoïde transitif, les groupes $G_a$, pour $a\in$ Som(G), sont isomorphes. On dit que le groupoïde G est simplement transitif s’il est transitif et si, de plus, les groupes d’isotropie $G_a$ sont tous réduits à leur élément neutre.

5. Exemples de groupoïdes

1) Soit G un groupe. Notons $\mathscr{G}$ le carquois dont l’ensemble des sommets est réduit à un élément et dont l’ensemble des flèches est G. Muni de la loi de composition induite par celle de G$,\mathscr{G}$ est un groupoïde, appelé groupoïde associé au groupe G.

2) Soit X un ensemble. Soit G le carquois $(X,X\times X$, pr$_1$, pr$_2)$ ; définissons une loi de composition dans G en posant $(x, x')\cdot (x', x'') = (x, x'')$, si $x, x', x''$ sont des éléments de X. Cette loi est associative ; pour tout $x\in X$, $(x, x)$ est l’élément neutre en $x$; l’inverse de la flèche $(x, x')$ est la flèche $(x', x)$. Le groupoïde ainsi défini est appelé groupoïde des couples de l’ensemble X. Si X n’est pas vide, il est simplement transitif.

3) Soient X et S des ensembles et soit $p: X\rightarrow S$ une application. Pour $a\in S$, on note $X_a=\overset{-1}{p}(a)$. Pour $a$ et $b$ dans S, soit $G_{a,b}$ l’ensemble $\mathscr{B}(X_a; X_b)$ des bijections de $X_a$ dans $X_b$ et soit G l’ensemble somme des ensembles $G_{a,b}$. Soient $o$ et $t$ les applications de G dans S telles que $o(f) =a$ et $t(f) =b$ pour tout élément $f\in G_{a,b}$. Le quadruplet $(S,G, o, t)$ est un carquois. Munissons-le de la loi de composition définie par $m(f, g) =g\circ f$ si $f\in \mathscr{B}(X_a; X_b)$ et $g\in \mathscr{B}(X_b; X_c)$, où $a, b, c$ sont des points de S. C’est un groupoïde ; on le note $\mathscr{B}(X, p)$ et on l’appelle le groupoïde des permutations de X relativement à $p$.

4) Soit $(G_i)_{i\in I}$ une famille de groupoïdes. Notons G le carquois produit de la famille des carquois sous-jacents ; pour tout $i\in I$, soit pr$_i: G\rightarrow G_i$ le morphisme de carquois canonique. Il existe une unique loi de composition dans G pour laquelle G est un groupoïde et telle que, pour tout $i\in I$, pr$_i$ soit un morphisme de groupoïdes. Soient $f= (f_i)_{i\in I}$ et $g= (g_i)_{i\in I}$ des flèches de G ; elles sont composables si et seulement si les flèches $f_i$ et $g_i$ sont composables, pour $i\in I$. On a alors $f g= (f_ig_i)_{i\in I}$.

Le carquois G, muni de cette loi de composition, est appelé le groupoïde produit de la famille $(G_i)_{i\in I}$. Il vérifie la propriété universelle suivante : pour tout groupoïde $G'$ et toute famille $(\varphi_i)_{i\in I}$, où $\varphi_i$ est un morphisme de groupoïdes de $G'$ dans $G_i$, il existe un unique morphisme de groupoïdes $\varphi : G'\rightarrow G$ tel que $\varphi_i=$ pr$_i\circ \varphi$ pour tout $i\in I$.

5) Soit $((G_i)_{i\in I},(\varphi_{i,j})_{i\prec j})$ un système inductif de groupoïdes, indexé par un ensemble préordonné filtrant à droite $(I,\prec )$, les $\varphi_{i,j}$ étant des morphismes de groupoïdes. Soit G le carquois dont l’ensemble des sommets est lim$\longrightarrow_i$ Som(G$_i$), l’ensemble des flèches est lim$\longrightarrow_i$ Fl(G$_i$), les applications origine et terme étant les applications lim$\longrightarrow_io_{G_i}$ et lim$\longrightarrow_it_{G_i}$ respectivement. Les lois de composition des $G_i$ induisent une loi de composition dans G qui en fait un groupoïde (cf. A, I, p. 114). Les applications canoniques Som(G$_i$)$\rightarrow$ Som(G) et Fl(G$_i$)$\rightarrow$ Fl(G) définissent un morphisme de groupoïdes $\varphi_i$ de $G_i$ dans G. Si $i,j$ sont des éléments de I tels que $i\prec j$, on a $\varphi_j\circ \varphi_{i,j}=\varphi_i$. Le groupoïde G est appelé la limite inductive de la famille des groupoïdes $G_i$ et est noté lim$\longrightarrow_iG_i$. Il vérifie la propriété universelle suivante : pour tout groupoïde H et toute famille $(\psi_i)_{i\in I}$, où, pour $i\in I,\psi_i: G_i\rightarrow H$ est un morphisme de groupoïdes, telle que $\psi_j\circ \varphi_{i,j}=\psi_i$ pour tout couple $(i, j)$ d’éléments de I tels que $i\prec j$, il existe un unique morphisme de groupoïdes $\psi : G\rightarrow H$ tel que $\psi_i=\psi \circ \varphi_i$.

Pour l’existence d’un groupoïde vérifiant cette propriété universelle lorsque l’on ne suppose pas que l’ensemble I est filtrant à droite, cf. II, p. 228, exerc. 3.

6. Sous-groupoïdes

(i) Pour tout sommet $a$ de D$,e_a$ est une flèche de D ;

(ii) Pour tout couple composable $(f, g)$ de flèches de C appartenant à D, le produit $f g$ est une flèche de D;

Soit C une catégorie et soit D une sous-catégorie de D; muni de la loi de composition déduite de celle de C par passage aux sous-ensembles, D est une catégorie.

Tout sous-carquois plein de C est une sous-catégorie de C. L’intersection d’une famille de sous-catégories de C est une sous-catégorie de C.

Soit G un groupoïde. Tout sous-groupoïde de G est un groupoïde. Tout sous-carquois plein de G est un sous-groupoïde de G. L’intersection d’une famille de sous-groupoïdes de G est un sous-groupoïde de G.

Soit H un sous-carquois de G. L’intersection des sous-groupoïdes de G dont H est un sous-carquois s’appelle le sous-groupoïde de G engendré par H. L’ensemble de ses sommets est égal à celui de H et ses orbites sont les composantes connexes de H.

7. Opérations d’un groupoïde

Soit G un groupoïde ; notons S l’ensemble de ses sommets. Soit X un ensemble et soit $p: X\rightarrow S$ une application. Une opération (à droite) $\varphi$ du groupoïde G sur l’ensemble X, relativement à $p$, est un morphisme de groupoïdes $\varphi$ de G dans le groupoïde $\mathscr{B}(X, p)$ des permutations de l’ensemble X relativement à $p($II, p. 163) qui induit l’identité sur l’ensemble des sommets. En d’autres termes, $\varphi$ est la donnée, pour tout couple $(a, b)$ de points de S et pour toute flèche $g\in G$ reliant $a$ à $b$, d’une application $\varphi (g): X_a\rightarrow X_b$, telle que l’on ait, pour tout couple $(f, g)$ de flèches composables de G,

et telle que, pour tout $a\in S,\varphi (e_a)$ soit l’identité de $X_a$.

Soient $\varphi$ et $\varphi '$ des opérations du groupoïde G sur un ensemble X, relativement à une application $p: X\rightarrow S$. Pour que l’on ait $\varphi =\varphi '$, il suffit qu’il existe un sous-carquois H de G, engendrant G, tel que $\varphi (f) =\varphi '(f)$ pour tout $f\in$ Fl(H). En effet, l’ensemble des flèches $f$ de G telles que $\varphi (f) =\varphi '(f)$ est l’ensemble des flèches d’un sous-groupoïde de G, d’ensemble de sommets S.

Soit G un groupoïde d’ensemble de sommets S, soit X un ensemble, soit $p: X\rightarrow S$ une application et soit $\varphi$ une opération de G sur X relativement à $p$. Soit $G_{\varphi}$ le sous-carquois de $p^*(G)$ dont l’ensemble des sommets est X et dont l’ensemble des flèches est l’ensemble des triplets $(x, f, y)\in X\times$ Fl(G) $\times X$ tels que $\varphi (f)(x) =y$. C’est un sous-groupoïde de $p^*(G)$.

Inversement, soit Γ un sous-groupoïde de $p^*(G)$; supposons que l’application $(x, f, y)\mapsto (x, f)$ de Fl(Γ) dans $X\times$ Fl(G) soit injective et que son image soit l’ensemble des couples $(x, f)$ tels que $p(x) =o(f)$. Il existe alors une unique opération $\varphi$ du groupoïde G sur X telle que l’on ait $\Gamma = G_{\varphi}$.

Les orbites du groupoïde $G_{\varphi}$ s’appellent les orbites de l’opération de G sur X. Par définition, ce sont les classes d’équivalence de la relation dans X donnée par $R\{x, y\}$ si et et seulement s’il existe $f\in$ Fl(G) telle que $\varphi (f)(x) =y$.

8. Sous-groupoïdes distingués ; quotients de groupoïdes

Soit G un groupoïde et soit H un sous-groupoïde de G dont l’ensemble des sommets est égal à Som(G). Pour vérifier que H est distingué, il suffit de démontrer que $fH_bf^{-1}\subset H_a$ pour tout $a\in$ Som(G), tout $b\in$ Som(G) et tout $f\in G_{a,b}$. En effet, s’il en est ainsi, on a aussi $f^{-1}H_af\subset H_b$ pour toute flèche $f\in G_{b,a}$, c’est-à-dire $H_a\subset fH_bf^{-1}$, et, par suite, $fH_bf^{-1}= H_a$.

Soit G un groupoïde et soit H un sous-groupoïde distingué de G. Pour tout sommet $a$ de G, le sous-groupe $H_a$ de $G_a$ est un sous-groupe distingué de $G_a$.

Soit $\varphi : G\rightarrow G'$ un morphisme de groupoïdes. Le noyau de $\varphi ($II, p. 166, exemple 5) est un sous-groupoïde distingué de G. En effet, soit $f$ une flèche dans G reliant $a$ à $b$ et soit $g\in$ Ker($\varphi$ )$_b$; on a alors $\varphi (f gf^{-1}) =\varphi (f)\varphi (g)\varphi (f^{-1}) =\varphi (f)e_{\varphi(b)}\varphi (f)^{-1}=e_{\varphi(a)}$, d’où l’inclusion $f$Ker($\varphi$ )$_bf^{-1}\subset$ Ker($\varphi$ )$_a$.

Soit G un groupoïde. Le groupoïde G et le sous-groupoïde de G dont l’ensemble des flèches est l’ensemble des éléments neutres de G sont des sous-groupoïdes distingués de G. L’intersection d’une famille de sous-groupoïdes distingués de G est un sous-groupoïde distingué de G. En particulier, pour toute partie $F\subset$ Fl(G), il existe un plus petit sous-groupoïde distingué de G dont l’ensemble des flèches contient F. On l’appelle le sous-groupoïde distingué engendré par F.

Soit H un sous-groupoïde distingué de G. Soit $\mathscr{R}$ la relation d’équivalence dans Fl(G) définie par $\mathscr{R}\{f, g\}$ si et seulement s’il existe des flèches $x$ et $y$ dans Fl(H) telles que $f=xgy$. Si $f$ et $g$ sont des flèches de G équivalentes modulo $\mathscr{R}$, leurs origines (resp. leurs termes) appartiennent à la même orbite de H. Posons $F'=$ Fl(G)$/\mathscr{R}$ et notons $o'$ et $t'$ les applications de $F'$ dans Orb(H) déduites de $o$ et $t$ par passage aux quotients. Notons $G/H$ le carquois (Orb(H)$,F', o', t'$).

9. Groupoïde des classes de chemins d’un graphe

Soit G un graphe. Notons $\Omega_G$ la catégorie des chemins du carquois sous-jacent à G (II, p. 160, exemple 1). Considérons la relation d’équivalence $\mathscr{R}$ la plus fine dans Ch(G) telle que l’on ait :

(i) Pour tout couple $(a, b)$ de sommets de G et toute flèche $f$ dans G reliant $a$ à $b$, les chemins $(a, f, b,\overline{f}, a)$ et $e_a$ sont équivalents modulo $\mathscr{R}$;

(ii) Si $(c, d)$ et $(c', d')$ sont des couples de chemins juxtaposables dans G tels que $\mathscr{R}\{c, c'\}$ et $\mathscr{R}\{d, d'\}$, les chemins $c*d$ et $c'*d'$ sont équivalents modulo $\mathscr{R}$.

Deux chemins équivalents modulo $\mathscr{R}$ ont même origine et même terme. Les applications $o$ et $t$ de Ch(G) dans Som(G) définissent, par passage au quotient, des applications $o'$ et $t'$ de Ch(G)$/\mathscr{R}$ dans Som(G). Notons $\varpi_G$ le carquois (Som(G), Ch(G)$/\mathscr{R}, o', t'$). Le couple $\varphi$ formé de l’identité de Som(G) et de la projection canonique de Ch(G) sur Ch(G)$/\mathscr{R}$ est un morphisme de carquois de $\Omega_G$ dans $\varpi_G$. La juxtaposition des chemins dans Ch(G) définit, par passage aux quotients, une loi de composition dans $\varpi_G$.