(i) l’application Orb($\varphi$ ) de Orb(G) dans Orb(G$'$), déduite de $\varphi$ par passage aux orbites, est bijective ;

(ii) pour tout $a\in A$, l’homomorphisme $\varphi_a: G_a\rightarrow G'_{\varphi(a)}$ est bijectif.

Supposons d’abord que $\varphi$ soit un homotopisme et soit $\psi$ un inverse de $\varphi$ à homotopie près. Alors,

Orb($\psi$ )$\circ$ Orb($\varphi$ ) $=$ Orb($\psi \circ \varphi$ ) $=$ Orb(Id$_G$) $=$ Id$_{Orb(G)}$,

car deux morphismes de groupoïdes homotopes induisent la même application par passage aux orbites. De même, Orb($\varphi$ )$\circ$ Orb($\psi$ ) $=$ Id$_{Orb(G')}$. L’application Orb($\varphi$ ) est donc bijective, d’où l’assertion (i). On a aussi, pour tout sommet $a$ de G,

comme $\psi \circ \varphi$ est homotope à Id$_G$, l’homomorphisme $(\psi \circ \varphi )_a$ est bijectif (cf. p. 180), si bien que $\varphi_a$ est injectif et $\psi_{\varphi(a)}$ est surjectif. En échangeant les rôles de $\varphi$ et $\psi$, on voit que $\varphi_a$ est aussi surjectif, d’où la condition (ii).

Supposons maintenant que les conditions (i) et (ii) soient satisfaites et démontrons que $\varphi$ est un homotopisme.

Traitons d’abord le cas où chaque orbite de $G'$ est réduite à un point.

Pour chaque sommet $b$ de $G'$, choisissons un sommet $u(b)$ de G appartenant à A et dont l’image par $\varphi$ soit $b$. C’est possible car l’application Orb($\varphi$ ) est surjective et que A rencontre chaque orbite de G. Soit $f$ une flèche de $G'$; on a $o(f) =t(f)$ par hypothèse ; posons $b=o(f)$ et $a=u(b)$. D’après la condition (ii), il existe une unique flèche $v(f)\in G_a$ dont l’image par $\varphi$ soit $f$. Le couple $\psi = (u, v)$ est un morphisme de groupoïdes de $G'$ dans G. Démontrons que $\psi$ est inverse de $\varphi$ à homotopie près. On a déjà $\varphi \circ \psi =$ Id$_{G'}$ par construction de $\psi$.

Soit $x$ un sommet de G. Posons $a=\psi (\varphi (x))$; c’est un élément de A tel que $\varphi (a) =\varphi (x)$. Puisque Orb($\varphi$ ) est injectif, $a$ appartient à l’orbite de $x$ dans G et il existe une flèche $f$ dans G reliant $a$ à $x$. La flèche $h(x) =\psi (\varphi (f))^{-1}f$ relie alors $a$ à $x$ et l’on a $\varphi (h(x)) =e_{\varphi(a)}$.

Montrons que l’application $h:$ Som(G) $\rightarrow$ Fl(G) ainsi définie est une homotopie qui relie $\psi \circ \varphi$ à Id$_G$. La condition (i) de la définition 1 est satisfaite, par construction. Soient $f$ une flèche de G$,x$ son origine et $y$ son terme. On a $\varphi (x) =\varphi (y)$ ; posons $a=\psi (\varphi (x)) =\psi (\varphi (y))$. Les flèches $h(x)f h(y)^{-1}$ et $\psi \circ \varphi (f)$ appartiennent à $G_a$ et ont toutes deux pour image $\varphi (f)$ dans $G'_{\varphi(a)}$. Comme l’application $\varphi_a$ est injective, on a $h(x)f h(y)^{-1}=\psi \circ \varphi (f)$. La condition (ii) de la définition 1 est ainsi satisfaite.

Démontrons maintenant la proposition 1 dans le cas général. Soit X une forêt orientée maximale de $G'($II, p. 157, prop. 1). Soit $G''$ le groupoïde déduit de $G'$ par contraction des flèches de X et soit $\varphi ': G'\rightarrow G''$ le morphisme canonique. Le morphisme $\varphi '$ satisfait aux conditions de la prop. 1 (II, p. 170, remarque 1 et p. 178, cor. 2), et il en est donc de même du morphisme $\varphi '\circ \varphi$.

Comme les orbites de $G''$ sont réduites à des points, il résulte du cas particulier déjà démontré que $\varphi '$ et $\varphi '\circ \varphi$ sont des homotopismes, si bien que $\varphi$ en est un également. Cela termine la démonstration de la proposition.

Par définition du groupoïde image réciproque (II, p. 166, exemple 4), A est l’ensemble des sommets du groupoïde $f^*G$ et l’on a Fl$_{a,b}(f^*G) =$ Fl$_{f(a),f(b)}(G)$ pour tout couple $(a, b)$ d’éléments de A. Par ailleurs, on a Som($\varphi$ ) $=f$ et Fl($\varphi$ ) induit l’application identique de Fl$_{a,b}(f^*G)$ dans Fl$_{f(a),f(b)}(G)$. Par suite, l’application Orb($\varphi$ ) est bijective et l’homomorphisme $\varphi_a: (f^*G)_a\rightarrow G_{f(a)}$ est un isomorphisme, pour tout $a\in A$. Les hypothèses de la proposition 1 sont donc vérifiées.

Il résulte en effet de la remarque 1 de II, p. 170 et du corollaire 2 de II, p. 178 que les hypothèses de la proposition 1 sont vérifiées.

Ce sous-carquois étant l’image du carquois $G_1$ par le morphisme de carquois $\pi \circ \theta_1$, la proposition résulte aussitôt de la construction de Coh($\varphi , \psi$ ).

Le triplet (Coh($\varphi , \psi$ )$, \alpha , h$) possède la propriété universelle suivante : si $G'$ est un groupoïde, $\alpha '$ un morphisme de groupoïdes de G dans $G'$ et $h':$ Som(H) $\rightarrow$ Fl(G$'$) une homotopie reliant $\alpha '\circ \varphi$ à $\alpha '\circ \psi$, il existe un unique morphisme de groupoïdes $\eta :$ Coh($\varphi , \psi$ )$\rightarrow G'$ tel que

(3) $\alpha '=\eta \circ \alpha$ et $h'=$ Fl($\eta$ )$\circ h$.

Compte tenu de la définition du groupoïde déduit par contraction de flèches, la contraction des lacets (1) entraîne que $\alpha$ est un morphisme de groupoïdes, la contraction des lacets (2) que $h$ est une homotopie reliant $\alpha \circ \varphi$ à $\alpha \circ \psi$.

Soient $G',\alpha ',h'$ comme dans l’énoncé. Soit $\eta_1$ le morphisme de carquois de $G_1$ dans $G'$ tel que Som($\eta_1$) soit égal à Som($\alpha '$) et tel que Fl($\eta_1$) coïncide avec Fl($\alpha '$) dans Fl(G) et avec $h'$ dans Som(H). Il existe un unique morphisme de groupoïdes $\eta_2:$ Grp(G$_1$)$\rightarrow G'$ tel que $\eta_1=\eta_2\circ \theta_1$. Comme $\alpha '$ est un morphisme de groupoïdes et $h'$ est une homotopie reliant $\alpha '\circ \varphi$ à $\alpha '\circ \psi ,\eta_2$ définit par passage au quotient un morphisme de groupoïdes $\eta$ de Coh($\varphi , \psi$ ) dans $G'($II, p. 170, prop. 3). Ce morphisme satisfait aux relations (3) et c’est le seul (II, p. 185, prop. 2).

Le morphisme $\alpha$ est le composé des morphismes $\alpha_1: G\rightarrow G_1$, $\theta_1: G_1\rightarrow$ Grp(G$_1$) et $\pi :$ Grp(G$_1$)$\rightarrow$ Coh($\varphi , \psi$ ). L’application $\theta_1$ induit une bijection de l’ensemble des composantes connexes du carquois $G_1$ sur l’ensemble des orbites de Grp(G$_1$) et l’application Orb($\pi$ )$:$ Orb(Grp(G$_1$))$\rightarrow$ Orb(Coh($\varphi , \psi$ )) est bijective (II, p. 170, remarque 1). Il suffit donc de démontrer que l’application de Orb(G) dans $\pi_0(G_1)$ déduite de $\alpha_1$ est surjective et que ses fibres sont les composantes connexes de l’armature du couple $(\varphi , \psi )$. La surjectivité résulte de ce que l’application Som($\alpha_1$) est l’application identique. La relation d’équivalence dans Som(G) donnée par « $a$ et $b$ sont dans la même composante connexe de $G_1$ » est engendrée par les relations « il existe une flèche de G reliant $a$ à $b$ » et « il existe un sommet $h$ de H tel que $\varphi (h) =a$ et $\psi (h) =b$ ». Cette relation d’équivalence est compatible avec l’application de Som(G) dans Orb(G) et la relation qui s’en déduit dans Orb(G) est engendrée par la relation « il existe une orbite $\eta$ de H telle que Orb($\varphi$ )$(\eta ) =\alpha$ et Orb($\psi$ )$(\eta ) =\beta$ ». C’est donc la relation « $\alpha$ et $\beta$ sont dans la même composante connexe de l’armature du couple $(\alpha , \beta )$ ».

(i) L’application $k$ est une homotopie reliant $\eta \circ \alpha$ à $\eta '\circ \alpha$;

(ii) Pour tout sommet $a$ de H, on a

Par définition, pour que $k$ soit une homotopie reliant $\eta$ à $\eta '$, il faut et il suffit que les deux conditions suivantes soient réalisées (rappelons que Som(G) = Som(Coh($\varphi , \psi$ ))) :

a) Pour tout sommet $x$ de Coh($\varphi , \psi$ )$,k(x)$ relie $\eta (x)$ à $\eta '(x)$ ;

b) Pour tout couple $(x, y)$ de sommets de Coh($\varphi , \psi$ ) et toute flèche $f\in$ Fl$_{x,y}$(Coh($\varphi , \psi$ )), on a $\eta (f)k(y) =k(x)\eta '(f)$.

D’après la prop. 2, il suffit de vérifier la condition b) lorsque $f$ appartient à l’image de Fl($\alpha$ ) ou à celle de $h$, de sorte que b) équivaut à la conjonction des deux conditions c) et d) ci-dessous :

c) Pour $x\in$ Som(G), $y\in$ Som(G) et $g\in$ Fl$_{x,y}(G)$, on a $\eta (\alpha (g))k(y) =k(x)\eta '(\alpha (g))$;

d) Pour tout $a\in$ Som(H), on a $\eta (h(a))k(\psi (a)) =k(\varphi (a))\eta '(h(a))$. La condition (i) équivaut à la conjonction de a) et c), et la condition (ii) est la condition d), d’où le corollaire.

(i) le morphisme de groupoïdes $v$ est un homotopisme ;

(ii) l’application Orb($u$)$:$ Orb(H) $\rightarrow$ Orb(H$'$), déduite de $u$ par passage aux orbites, est bijective ;

(iii) il existe dans chaque orbite de H un point $a$ tel que l’homomorphisme $u_a: H_a\rightarrow H'_{u(a)}$ soit surjectif.

Alors, le morphisme de groupoïdes $w:$ Coh($\varphi , \psi$ )$\rightarrow$ Coh($\varphi ', \psi '$) est un homotopisme.

Soit $G''$ le groupoïde déduit de $G'$ par contraction des flèches d’une forêt orientée maximale. Le morphisme canonique $v': G'\rightarrow G''$ est un homotopisme (II, p. 184, corollaire 2 de la prop. 1). Les deux diagrammes

H $^{\varphi}$ G ${H'}^{\varphi'}G'$

$u\psi v'\circ v$ et Id$_{H'}\psi 'v'$

donnent lieu à des morphismes de groupoïdes $w'_1:$ Coh($\varphi , \psi$ )$\rightarrow$ Coh($v'\circ \varphi ', v'\circ \psi '$) et $w'_2:$ Coh($\varphi ', \psi '$)$\rightarrow$ Coh($v'\circ \varphi ', v'\circ \psi '$) ; on a $w'_1=w'_2\circ w$. Il suffit donc de démontrer que $w'_1$ et $w'_2$ sont des homotopismes. Comme les applications Som($v'\circ v$)$:$ Som(G) $\rightarrow$ Som(G$''$) et Som($v'$)$:$ Som(G$'$)$\rightarrow$ Som(G$''$) sont surjectives, il suffit par conséquent de démontrer le théorème sous l’hypothèse supplémentaire que l’application Som($v$) est surjective, hypothèse que nous ferons dans toute la suite de la démonstration.

Démontrons successivement les assertions suivantes :

– L’application Orb($w$) est bijective ;

– Pour tout sommet $a$ de G, l’homomorphisme $w_a$ est surjectif ;

– Pour tout sommet $a$ de G, l’homomorphisme $w_a$ est injectif.

a) Par hypothèse, l’application Orb($u$) est bijective ; il en est de même de l’application Orb($v$) d’après II, p. 182, prop. 1, car $v$ est un homotopisme. Le morphisme de carquois de l’armature du couple $(\varphi , \psi )$ sur celle du couple $(\varphi ', \psi ')$ défini par les applications Orb($u$) et Orb($v$) est donc un isomorphisme. En particulier, l’application qui s’en déduit par passage aux composantes connexes est bijective. La prop. 4 de II, p. 185 implique alors que l’application Orb($w$) est bijective.

b) Soit $f'$ une flèche de $G'$, notons $a'$ son origine et $b'$ son terme. Comme l’application Som($v$) est surjective, il existe des sommets $a$ et $b$ dans G tels que $a'=v(a)$ et $b'=v(b)$. Comme le morphisme $v$ est un homotopisme, il existe une flèche $f$ de G reliant $a$ à $b$ ainsi qu’un élément $g\in G_a$ tel que $v(g) =f'v(f)^{-1}($II, p. 182, prop. 1), d’où $f'=v(gf)$. Cela démontre que l’application Fl($v$) est surjective.

Démontrons alors que l’application Fl($w$) est surjective. Son image contient celle de Fl($\alpha '$), car l’on a $\alpha '\circ v=w\circ \alpha$ et l’application Fl($v$) est surjective. Soit $b$ un sommet de $H'$; soit $a$ un sommet de H tel que $b$ et $u(a)$ soient dans la même orbite de $H'$ et soit $f$ une flèche de $H'$ reliant $u(a)$ à $b$. Alors,

car $h'$ est une homotopie reliant $\alpha '\circ \varphi '$ à $\alpha '\circ \psi '$. La flèche $h'(u(a)) =$ $w(h(a))$ appartient à l’image de Fl($w$), de même que les deux flèches $\alpha '(\psi '(f))$ et $\alpha '(\varphi '(f))$ d’après ce qui précède. Il en résulte que la flèche $h'(b)$ appartient à l’image de Fl($w$), ce qui démontre que l’image de Fl($w$) contient celle de $h'$. D’après la prop. 2 de II, p. 185, l’application Fl($w$) est surjective.

Soit $g'\in$ Coh($\varphi ', \psi '$)$_{u(a)}$. Soit $g$ une flèche de Coh($\varphi , \psi$ ) telle que $w(g) =g'$. Notons $x$ et $y$ l’origine et le terme de $g$; on a $u(x) =$ $u(y) =u(a)$. Soit $g_1$ (resp. $g_2$) une flèche de G reliant $a$ à $x$ (resp. $a$ à $y$) dont l’image par $v$ est $e_{u(a)}$. Alors, $\alpha (g_1)g\alpha (g_2)^{-1}$ est un élément de Coh($\varphi , \psi$ )$_a$ dont l’image par $w_a$ est $g'$. Par suite, pour tout sommet $a$ de G, l’homomorphisme $w_a$ est surjectif.

c) Démontrons que, pour tout sommet $a$ de G, l’homomorphisme $w_a$ est injectif. En considérant successivement les diagrammes

on est alors ramené à traiter les deux cas suivants : 1) On a $H'= H$ et $u=$ Id$_H; 2)$ On a $G'= G$ et $v=$ Id$_G$.

1) Supposons que l’on a $H'= H$ et $u=$ Id$_H$.

Considérons un morphisme de groupoïdes $v': G'\rightarrow G$ qui est inverse de $v$ à homotopie près et une homotopie $k:$ Som(G) $\rightarrow$ Fl(G) reliant $v'\circ v$ à Id$_G$. D’après la remarque 1 de II, p. 181, les applications $\alpha \circ k\circ \varphi$ et $\alpha \circ k\circ \psi$ sont des homotopies reliant respectivement $\alpha \circ v'\circ \varphi '$ à $\alpha \circ \varphi$ et $\alpha \circ v'\circ \psi '$ à $\alpha \circ \psi$. Par suite (cf. II, p. 180), l’application

$h_1:$ Som(H) $\rightarrow$ Fl(Coh($\varphi , \psi$ )),

est une homotopie reliant $\alpha \circ v'\circ \varphi '$ à $\alpha \circ v'\circ \psi '$. D’après la propriété universelle des cohomotopeurs (II, p. 185, prop. 3), il existe un unique morphisme de groupoïdes $w':$ Coh($\varphi ', \psi '$)$\rightarrow$ Coh($\varphi , \psi$ ) tel que $\alpha \circ v'=$ $w'\circ \alpha '$ et $h_1=$ Fl($w'$)$\circ h'$.

H $^{\varphi}_{\psi}$ G $^{\alpha}$ Coh($\varphi , \psi$ )

Id$_Hvw$

H $^{\varphi'}_{\psi'}{G'}^{\alpha'}$ Coh($\varphi ', \psi '$)

Id$_Hv'w'$

H $^{\varphi}_{\psi}$ G $^{\alpha}$ Coh($\varphi , \psi$ ) .

On a en particulier

Comme $k$ est une homotopie reliant $v'\circ v$ à Id$_G,\alpha \circ k$ est une homotopie reliant $w'\circ w\circ \alpha$ à $\alpha$. Comme Fl($w'\circ w$)$\circ h=$ Fl($w'$)$\circ h'=h_1$, on a, pour tout sommet $x$ de H,

Fl($w'\circ w$)$\circ h(x)\cdot (\alpha \circ k\circ \psi )(x) =h_1(x)\cdot (\alpha \circ k\circ \psi )(x) = (\alpha \circ k\circ \varphi )(x)\cdot h(x)$,

par définition de $h_1$. D’après la prop. 5 de II, p. 186, appliquée aux morphismes de groupoïdes $w'\circ w$ et Id$_{Coh(\varphi ,\psi)}$, l’application $\alpha \circ k$ est une homotopie reliant $w'\circ w$ à Id$_G$. En particulier, $w'\circ w$ est un homotopisme.

Pour tout sommet $a$ de G, l’homomorphisme de groupes $(w'\circ w)_a$ est donc bijectif (II, p. 182, prop. 1). Il en résulte que l’homomorphisme $w_a$ est injectif, d’où le résultat dans le cas A).

2) Supposons que l’on a $G'= G$ et $v=$ Id$_G$.

Soit $x$ un sommet de $H'$. L’application Orb($u$) étant surjective, il existe un sommet $a$ de H et une flèche $f$ de $H'$ reliant $u(a)$ à $x$. Les flèches $\alpha (\varphi '(f))^{-1},h(a)$ et $\alpha (\psi '(f))$ relient respectivement $\varphi '(x)$ à $\varphi '(u(a)) =\varphi (a),\varphi (a)$ à $\psi (a)$ et $\psi '(u(a)) =\psi (a)$ à $\psi '(x)$, donc sont composables dans Coh($\varphi , \psi$ ). Posons

Vérifions que la flèche $h_2(x)$ ainsi définie ne dépend pas des éléments $a$ et $f$ choisis. Soit $a'$ un sommet de H et soit $f'$ une flèche de $H'$ reliant $u(a')$ à $x$. Puisque l’application Orb($u$) est injective, les sommets $a$ et $a'$ de H appartiennent à la même orbite et il existe une flèche $c\in$ Fl(H) reliant $a$ à $a'$. Alors, $u(c)f'f^{-1}$ est un lacet en $u(a)$ dans $H'$. D’après l’hypothèse (iii), il existe un sommet $b$ de H tel que l’homomorphisme $u_b$ soit surjectif et une flèche $c'$ de H reliant $b$ à $a$; alors, Int($u(c')$)$(u(c)f'f^{-1})$ est un lacet en $u(b)$ dans H, c’est donc l’image par $u_b$ d’un lacet $c''$ en $b$. Par conséquent, la flèche $g= (c'c)^{-1}c''c'$ de H relie le sommet $a'$ au sommet $a$ et vérifie $f'=u(g)f$. On a alors

puisque $h$ est une homotopie reliant $\alpha \circ \varphi$ à $\alpha \circ \psi$. Cela démontre l’indépendance annoncée.

Par construction, on a $h_2(u(x)) =h(x)$ pour tout $x\in$ Som(H). Nous avons ainsi défini une application $h_2$ de Som(H$'$) dans Fl(Coh($\varphi , \psi$ )). Soit $c$ une flèche de $H'$, notons $x$ son origine et $y$ son terme. Soit $a$ un sommet de H et $f$ une flèche de $H'$ reliant $u(a)$ à $x$. Alors, $f c$ est une flèche de $H'$ qui relie $u(a)$ à $y$. Par définition de $h_2$, on a ainsi

Cela prouve que $h_2$ est une homotopie qui relie $\alpha \circ \varphi '$ à $\alpha \circ \psi '$.

D’après la propriété universelle des cohomotopeurs, il existe un unique morphisme de groupoïdes $w':$ Coh($\varphi ', \psi '$)$\rightarrow$ Coh($\varphi , \psi$ ) tel que $w'\circ \alpha '=\alpha$ et $h_2$ = Fl($w'$)$\circ h'$. On a $w'\circ w\circ \alpha =w'\circ \alpha '=\alpha$ et Fl($w'\circ w$)$\circ h=$ Fl($w'$)$\circ h'\circ$ Som($u$) $=h_2\circ u=h$ par définition de $h_2$. D’après la propriété universelle des cohomotopeurs, cela implique que l’on a $w'\circ w=$ Id$_{Coh(\varphi ,\psi)}$. En particulier, pour tout $a\in$ Som(G), l’homomorphisme $w_a$ est injectif.

Il résulte alors de la prop. 1 de II, p. 182 que le morphisme $w$ est un homotopisme, d’où le théorème.