Bourbaki

§ 4. Đồng luân

1. Định nghĩa các đồng luân

Định nghĩa 1 01U3

Cho G là một groupoid, H là một đồ thị có hướng, φ\varphi và φ′\varphi ' là các cấu xạ của đồ thị có hướng từ H vào G. Một đồng luân nối φ\varphi với φ′\varphi ' là một ánh xạ hh từ tập hợp các đỉnh của H vào tập hợp các mũi tên của G có các tính chất sau đây:

(i) Với mọi đỉnh aa của H, mũi tên h(a)h(a) có gốc là φ(a)\varphi (a) và ngọn là φ′(a)\varphi '(a);

(ii) Với mọi mũi tên ff của H, có gốc aa và ngọn bb, ta có φ(f)h(b)=h(a)φ′(f)\varphi (f)h(b) =h(a)\varphi '(f).

Ta nói rằng φ\varphi và φ′\varphi ' đồng luân nếu tồn tại một đồng luân nối φ\varphi với φ′\varphi '.

Cho G là một groupoid, cho H là một đồ thị có hướng và cho φ,φ′,φ′′\varphi ,\varphi ',\varphi '' là các cấu xạ của đồ thị có hướng từ H vào G. Ánh xạ a↦eφ(a)a\mapsto e_{\varphi(a)} là một đồng luân nối φ\varphi với φ\varphi. Nếu hh là một đồng luân nối φ\varphi với φ′\varphi ', thì ánh xạ a↦h(a)−1a\mapsto h(a)^{-1} là một đồng luân nối φ′\varphi ' với φ\varphi. Cho hh và h′h' là các đồng luân nối lần lượt φ\varphi với φ′\varphi ' và φ′\varphi ' với φ′′\varphi ''. Với mọi đỉnh aa của H, các mũi tên h(a)h(a) và h′(a)h'(a) hợp thành được. Ánh xạ a↦h(a)h′(a)a\mapsto h(a)h'(a) là một đồng luân nối φ\varphi với φ′′\varphi ''.

Suy ra rằng quan hệ “ φ\varphi đồng luân với φ′\varphi ' ” là một quan hệ tương đương trên tập hợp các cấu xạ của đồ thị có hướng từ H vào G.

Cho G là một groupoid, H là một đồ thị có hướng và φ,φ′\varphi ,\varphi ' là các cấu xạ của đồ thị có hướng từ H vào G đồng luân với nhau. Theo điều kiện (i) của Định nghĩa 1, với mọi đỉnh aa của H, các đỉnh φ(a)\varphi (a) và φ′(a)\varphi '(a) thuộc cùng một quỹ đạo của G.

Giả sử hơn nữa rằng H là một groupoid, và gọi hh là một đồng luân nối φ\varphi với φ′\varphi '. Khi đó các ánh xạ Orb(φ\varphi ) và Orb(φ′\varphi ') suy ra từ φ\varphi và φ′\varphi ' bằng cách chuyển qua các quỹ đạo là bằng nhau. Với mọi đỉnh aa của H và mọi mũi tên f∈Haf\in H_a, ta có φ(f)=h(a)φ′(f)h(a)−1=\varphi (f) =h(a)\varphi '(f)h(a)^{-1}= Int(h(a)h(a))(φ′(f))(\varphi '(f)), theo điều kiện (ii) của Định nghĩa 1. Nói cách khác, đồng cấu φa\varphi_a bằng Int(h(a)h(a))∘φa′\circ \varphi '_a. Đặc biệt, nếu đồng cấu φa\varphi_a là đơn ánh (tương ứng, song ánh, tương ứng, toàn ánh), thì đồng cấu φa′\varphi '_a cũng có tính chất đó.

Nhận xét 1 01U4

Cho G, G′G' là các groupoid, H, H′H' là các đồ thị có hướng, cho u:H′→Hu: H'\rightarrow H là một cấu xạ của các đồ thị có hướng và v:G→G′v: G\rightarrow G' là một cấu xạ của các groupoid. Nếu các cấu xạ của đồ thị có hướng φ,φ′\varphi ,\varphi ' từ H vào G là đồng luân, thì các cấu xạ của đồ thị có hướng v∘φ∘uv\circ \varphi \circ u và v∘φ′∘uv\circ \varphi '\circ u từ H′H' vào G′G' là đồng luân. Chính xác hơn, nếu hh là một đồng luân nối φ\varphi với φ′\varphi ', thì ánh xạ Fl(vv)∘h∘\circ h\circ Som(uu) là một đồng luân nối v∘φ∘uv\circ \varphi \circ u với v∘φ′∘uv\circ \varphi '\circ u.

Nhận xét 2 01U5

Cho G là một groupoid, H là một đồ thị có hướng, và cho φ,ψ\varphi , \psi là các cấu xạ của đồ thị có hướng từ H vào G. Ta ký hiệu bởi jj cấu xạ chính tắc từ H vào Grp(H), và bởi φ‾\overline{\varphi} và ψ‾\overline{\psi} các cấu xạ của các groupoid từ Grp(H) vào G sao cho φ‾∘j=φ\overline{\varphi}\circ j=\varphi và ψ‾∘j=ψ\overline{\psi}\circ j=\psi.

Nhắc lại rằng Som(H) = Som(Grp(H)).

Một đồng luân h:h: Som(H) →\rightarrow Fl(G) nối φ\varphi với ψ\psi là một đồng luân nối φ‾\overline{\varphi} với ψ‾\overline{\psi}.

2. Homotopism của các groupoid

Trong Noo^o này, ta sẽ dùng ký hiệu u∼vu\sim v để biểu thị rằng hai cấu xạ của các groupoid uu và vv là đồng luân.

Định nghĩa 2 01U6

Cho G, G′G' là các vị nhóm và cho φ\varphi là một cấu xạ từ G vào G′G'. Một nghịch đảo tới đồng luân của φ\varphi là một cấu xạ vị nhóm ψ\psi từ G′G' vào G sao cho các cấu xạ ψ∘φ\psi \circ \varphi và φ∘ψ\varphi \circ \psi lần lượt đồng luân với IdG_G và với IdG′_{G'}. Ta nói rằng φ\varphi là một đồng luân tương đương nếu tồn tại một nghịch đảo của φ\varphi tới đồng luân.

Một đẳng cấu của các vị nhóm là một đồng luân tương đương.

Cho G và G′G' là các vị nhóm. Cho φ,φ′\varphi ,\varphi ' là các cấu xạ vị nhóm từ G vào G′G' đồng luân với nhau. Nếu φ\varphi là một đồng luân tương đương, thì φ′\varphi ' cũng vậy. Thật vậy, nếu ψ\psi ký hiệu một nghịch đảo của φ\varphi tới đồng luân, ta có ψ∘φ′∼ψ∘φ∼\psi \circ \varphi '\sim \psi \circ \varphi \sim IdG_G và φ′∘ψ∼φ∘ψ∼\varphi '\circ \psi \sim \varphi \circ \psi \sim IdG′_{G'}, điều đó chứng minh rằng ψ\psi là một nghịch đảo tới đồng luân của φ′\varphi '.

Cho G, G′,G′′G',G'' là các vị nhóm và cho φ:G→G′,φ′:G′→G′′\varphi : G\rightarrow G',\varphi ': G'\rightarrow G'', ψ:G′→G,ψ′:G′′→G′\psi : G'\rightarrow G,\psi ': G''\rightarrow G' là các cấu xạ vị nhóm. Khi đó, trong các điều kiện sau:

(i) ψ\psi là một nghịch đảo tới đồng luân của φ\varphi;

(ii) ψ′\psi ' là một nghịch đảo tới đồng luân của φ′\varphi ';

(iii) ψ∘ψ′\psi \circ \psi ' là một nghịch đảo tới đồng luân của φ′∘φ\varphi '\circ \varphi; bất kỳ hai điều kiện nào cũng suy ra điều kiện thứ ba. Thật vậy, trước hết giả sử rằng (i) và (ii) được thỏa mãn; khi đó ta có

ψ∘ψ′∘φ′∘φ∼ψ∘\psi \circ \psi '\circ \varphi '\circ \varphi \sim \psi \circ IdG′∘φ∼ψ∘φ∼_{G'}\circ \varphi \sim \psi \circ \varphi \sim IdG_G

và, tương tự, φ′∘φ∘ψ∘ψ′∼\varphi '\circ \varphi \circ \psi \circ \psi '\sim IdG′_{G'}, do đó có (iii). Nếu (i) và (iii) được thỏa mãn,

φ′∘ψ′∼φ′∘φ∘ψ∘ψ′∼\varphi '\circ \psi '\sim \varphi '\circ \varphi \circ \psi \circ \psi '\sim IdG′′_{G''}

và

ψ′∘φ′∼(φ∘ψ)∘ψ′∘φ′∘(φ∘ψ)∼φ∘ψ∼\psi '\circ \varphi '\sim (\varphi \circ \psi )\circ \psi '\circ \varphi '\circ (\varphi \circ \psi )\sim \varphi \circ \psi \sim IdG′_{G'},

do đó có điều kiện (ii). Chứng minh rằng các điều kiện (ii) và (iii) suy ra điều kiện (i) là tương tự.

Đặc biệt, nếu hai trong ba cấu xạ φ,φ′,φ′∘φ\varphi ,\varphi ',\varphi '\circ \varphi là các đồng luân tương đương, thì cấu xạ thứ ba cũng vậy.

Mệnh đề 1 01U7

Cho G, G′G' là các vị nhóm, cho φ\varphi là một cấu xạ từ G vào G′G', và cho A là một tập con của tập hợp các đỉnh của G cắt mọi quỹ đạo của G. Để φ\varphi là một đồng luân tương đương, điều kiện cần và đủ là các điều kiện sau được thỏa mãn:

(i) ánh xạ Orb(φ\varphi ) từ Orb(G) vào Orb(G′'), suy ra từ φ\varphi bằng cách chuyển qua các quỹ đạo, là song ánh;

(ii) với mọi a∈Aa\in A, đồng cấu φa:Ga→Gφ(a)′\varphi_a: G_a\rightarrow G'_{\varphi(a)} là song ánh.

Trước hết giả sử rằng φ\varphi là một đồng luân tương đương và cho ψ\psi là một nghịch đảo của φ\varphi tới đồng luân. Khi đó,

Orb(ψ\psi )∘\circ Orb(φ\varphi ) == Orb(ψ∘φ\psi \circ \varphi ) == Orb(IdG_G) == IdOrb(G)_{Orb(G)},

vì hai cấu xạ groupoid đồng luân cảm sinh cùng một ánh xạ khi chuyển qua các quỹ đạo. Tương tự, Orb(φ\varphi )∘\circ Orb(ψ\psi ) == IdOrb(G′)_{Orb(G')}. Do đó ánh xạ Orb(φ\varphi ) là song ánh, do đó suy ra mệnh đề (i). Ta cũng có, với mọi đỉnh aa của G,

ψφ(a)∘φa=(ψ∘φ)a \psi_{\varphi(a)}\circ \varphi_a= (\psi \circ \varphi )_a

vì ψ∘φ\psi \circ \varphi đồng luân với IdG_G, đồng cấu (ψ∘φ)a(\psi \circ \varphi )_a là song ánh (xem p. 180), nên φa\varphi_a là đơn ánh và ψφ(a)\psi_{\varphi(a)} là toàn ánh. Khi đổi chỗ vai trò của φ\varphi và ψ\psi, ta thấy rằng φa\varphi_a cũng là toàn ánh, do đó suy ra điều kiện (ii).

Bây giờ giả sử rằng các điều kiện (i) và (ii) được thỏa mãn, và hãy chứng minh rằng φ\varphi là một homotopism.

Trước hết hãy xét trường hợp mỗi quỹ đạo của G′G' thu về một điểm.

Với mỗi đỉnh bb của G′G', chọn một đỉnh u(b)u(b) của G thuộc A và có ảnh dưới φ\varphi là bb. Điều này là có thể vì ánh xạ Orb(φ\varphi ) là toàn ánh và A cắt mỗi quỹ đạo của G. Cho ff là một mũi tên của G′G'; theo giả thiết ta có o(f)=t(f)o(f) =t(f); đặt b=o(f)b=o(f) và a=u(b)a=u(b). Theo điều kiện (ii), tồn tại một mũi tên duy nhất v(f)∈Gav(f)\in G_a có ảnh dưới φ\varphi là ff. Cặp ψ=(u,v)\psi = (u, v) là một cấu xạ groupoid từ G′G' vào G. Hãy chứng minh rằng ψ\psi là nghịch đảo của φ\varphi đến đồng luân. Theo phép dựng của ψ\psi, ta đã có φ∘ψ=\varphi \circ \psi = IdG′_{G'}.

Cho xx là một đỉnh của G. Đặt a=ψ(φ(x))a=\psi (\varphi (x)); đây là một phần tử của A sao cho φ(a)=φ(x)\varphi (a) =\varphi (x). Vì Orb(φ\varphi ) là đơn ánh, aa thuộc quỹ đạo của xx trong G và tồn tại một mũi tên ff trong G nối aa với xx. Khi đó mũi tên h(x)=ψ(φ(f))−1fh(x) =\psi (\varphi (f))^{-1}f nối aa với xx và ta có φ(h(x))=eφ(a)\varphi (h(x)) =e_{\varphi(a)}.

Hãy chỉ ra rằng ánh xạ h:h: Som(G) →\rightarrow Fl(G) thu được là một đồng luân nối ψ∘φ\psi \circ \varphi với IdG_G. Điều kiện (i) của định nghĩa 1 được thỏa mãn, theo phép dựng. Cho ff là một mũi tên của G,x,x là gốc của nó và yy là đích của nó. Ta có φ(x)=φ(y)\varphi (x) =\varphi (y) ; đặt a=ψ(φ(x))=ψ(φ(y))a=\psi (\varphi (x)) =\psi (\varphi (y)). Các mũi tên h(x)fh(y)−1h(x)f h(y)^{-1} và ψ∘φ(f)\psi \circ \varphi (f) thuộc GaG_a và cả hai đều có ảnh là φ(f)\varphi (f) trong Gφ(a)′G'_{\varphi(a)}. Vì ánh xạ φa\varphi_a là đơn ánh, ta có h(x)fh(y)−1=ψ∘φ(f)h(x)f h(y)^{-1}=\psi \circ \varphi (f). Vậy điều kiện (ii) của định nghĩa 1 được thỏa mãn.

Bây giờ chứng minh mệnh đề 1 trong trường hợp tổng quát. Cho X là một rừng có hướng cực đại của G′(G'(II, p. 157, mệnh đề 1). Gọi G′′G'' là groupoid suy ra từ G′G' bằng phép co các mũi tên của X và gọi φ′:G′→G′′\varphi ': G'\rightarrow G'' là cấu xạ chính tắc. Cấu xạ φ′\varphi ' thỏa mãn các điều kiện của mệnh đề 1 (II, p. 170, nhận xét 1 và p. 178, hệ quả 2), và do đó điều tương tự cũng đúng với cấu xạ φ′∘φ\varphi '\circ \varphi.

Vì các quỹ đạo của G′′G'' rút về các điểm, suy ra từ trường hợp riêng đã được chứng minh rằng φ′\varphi ' và φ′∘φ\varphi '\circ \varphi là các homotopism, nên φ\varphi cũng vậy. Điều này hoàn tất chứng minh của mệnh đề.

Hệ quả 1 01U8

Cho G là một groupoid, A là một tập hợp và f:A→f: A\rightarrow Som(G) là một ánh xạ. Nếu ảnh của ff cắt mỗi quỹ đạo của G, thì cấu xạ groupoid chính tắc φ\varphi từ f∗Gf^*G vào G là một homotopism.

Theo định nghĩa của groupoid ảnh ngược (II, p. 166, ví dụ 4), A là tập hợp các đỉnh của groupoid f∗Gf^*G và ta có Fla,b(f∗G)=_{a,b}(f^*G) = Flf(a),f(b)(G)_{f(a),f(b)}(G) với mọi cặp (a,b)(a, b) phần tử của A. Hơn nữa, ta có Som(φ\varphi ) =f=f và Fl(φ\varphi ) cảm sinh ánh xạ đồng nhất từ Fla,b(f∗G)_{a,b}(f^*G) vào Flf(a),f(b)(G)_{f(a),f(b)}(G). Do đó, ánh xạ Orb(φ\varphi ) là song ánh và đồng cấu φa:(f∗G)a→Gf(a)\varphi_a: (f^*G)_a\rightarrow G_{f(a)} là một đẳng cấu, với mọi a∈Aa\in A. Vậy các giả thiết của mệnh đề 1 được thỏa mãn.

Hệ quả 2 01U9

Cho G là một groupoid, X là một rừng có hướng của G, và G′G' là groupoid suy ra từ G bằng phép co các mũi tên của X. Cấu xạ chính tắc từ G vào G′G' là một homotopism.

Thật vậy, điều này suy ra từ nhận xét 1 của II, p. 170 và hệ quả 2 của II, p. 178 rằng các giả thiết của mệnh đề 1 được thỏa mãn.

3. Cohomotoper

Cho H là một quiver, G là một groupoid, và φ\varphi và ψ\psi là các cấu xạ quiver từ H vào G.

Gọi G1G_1 là quiver được xác định như sau: các đỉnh của G1G_1 là các đỉnh của G; các mũi tên của G1G_1 là các phần tử của tổng các tập hợp Fl(G) và Som(H); ánh xạ gốc của G1G_1 trùng với ánh xạ gốc của G trên Fl(G) và với Som(φ\varphi ) trên Som(H); ánh xạ đích của G1G_1 trùng với ánh xạ đích của G trên Fl(G) và với Som(ψ\psi ) trên Som(H). Gọi α1\alpha_1 là cấu xạ quiver từ G vào G1G_1 được xác định bởi ánh xạ đồng nhất của Som(G) và bởi đơn ánh chính tắc từ Fl(G) vào Fl(G1_1). Gọi h1h_1 là đơn ánh chính tắc Som(H) →\rightarrow Fl(G1_1).

Xét vị nhóm tự do Grp(G1_1) được dựng trên G1(G_1(II, p. 174, định nghĩa 9), và gọi θ1\theta_1 là cấu xạ quiver chính tắc từ G1G_1 vào Grp(G1_1). Sau cùng, ký hiệu Coh(φ,ψ\varphi , \psi ) là vị nhóm suy ra từ Grp(G1_1) bằng cách co các vòng (tại gốc của xx)

α1(x)α1(y)α1(xy)−1(1) \alpha_1(x)\alpha_1(y)\alpha_1(xy)^{-1} \tag{1}

với mọi cặp (x,y)(x, y) gồm các mũi tên ghép được của G, cũng như các vòng (tại φ(a)\varphi (a))

α1(φ(f))h1(b)α1(ψ(f))−1h1(a)−1(2) \alpha_1(\varphi (f))h_1(b)\alpha_1(\psi (f))^{-1}h_1(a)^{-1} \tag{2}

với a,ba,b thuộc Som(H) và f∈f\in Flab(H)_{ab}(H). Gọi π:\pi : Grp(G1_1)→\rightarrow Coh(φ,ψ\varphi , \psi ) là cấu xạ chính tắc; đặt α\alpha = π∘θ1∘α1\pi \circ \theta_1\circ \alpha_1 và h=h= Fl(π∘θ1\pi \circ \theta_1)∘h1\circ h_1.

Mệnh đề 2 01UA

Vị nhóm Coh(φ,ψ\varphi , \psi ) được sinh bởi quiver con mà tập hợp các đỉnh là Som(G) và tập hợp các mũi tên là hợp của các ảnh của các ánh xạ Fl(α\alpha ) và hh.

Quiver con này là ảnh của quiver G1G_1 dưới cấu xạ quiver π∘θ1\pi \circ \theta_1, nên mệnh đề suy ra ngay từ phép dựng của Coh(φ,ψ\varphi , \psi ).

Mệnh đề 3 01UB

Cấu xạ quiver α\alpha là một cấu xạ vị nhóm từ G vào Coh(φ,ψ\varphi , \psi ), và ánh xạ hh là một đồng luân nối α∘φ\alpha \circ \varphi với α∘ψ\alpha \circ \psi.

Bộ ba (Coh(φ,ψ\varphi , \psi ),α,h, \alpha , h) có tính chất phổ quát sau đây: nếu G′G' là một groupoid, α′\alpha ' là một cấu xạ của các groupoid từ G vào G′G' và h′:h': Som(H) →\rightarrow Fl(G′') là một đồng luân nối α′∘φ\alpha '\circ \varphi với α′∘ψ\alpha '\circ \psi, thì tồn tại một cấu xạ duy nhất của các groupoid η:\eta : Coh(φ,ψ\varphi , \psi )→G′\rightarrow G' sao cho

(3) α′=η∘α\alpha '=\eta \circ \alpha và h′=h'= Fl(η\eta )∘h\circ h.

Theo định nghĩa của groupoid suy ra bằng co các mũi tên, việc co các vòng (1) kéo theo rằng α\alpha là một cấu xạ của các groupoid, và việc co các vòng (2) kéo theo rằng hh là một đồng luân nối α∘φ\alpha \circ \varphi với α∘ψ\alpha \circ \psi.

Cho G′,α′,h′G',\alpha ',h' như trong mệnh đề. Gọi η1\eta_1 là cấu xạ của các đồ thị có hướng từ G1G_1 vào G′G' sao cho Som(η1\eta_1) bằng Som(α′\alpha ') và sao cho Fl(η1\eta_1) trùng với Fl(α′\alpha ') trên Fl(G) và với h′h' trên Som(H). Tồn tại một cấu xạ duy nhất của các groupoid η2:\eta_2: Grp(G1_1)→G′\rightarrow G' sao cho η1=η2∘θ1\eta_1=\eta_2\circ \theta_1. Vì α′\alpha ' là một cấu xạ của các groupoid và h′h' là một đồng luân nối α′∘φ\alpha '\circ \varphi với α′∘ψ,η2\alpha '\circ \psi ,\eta_2 xác định bằng cách chuyển qua thương một cấu xạ của các groupoid η\eta từ Coh(φ,ψ\varphi , \psi ) vào G′(G'(II, p. 170, mệnh đề 3). Cấu xạ này thỏa mãn các hệ thức (3), và đó là cấu xạ duy nhất (II, p. 185, mệnh đề 2).

Định nghĩa 3 01UC

Groupoid Coh(φ,ψ\varphi , \psi ) được gọi là bộ đối đồng luân hóa của cặp (φ,ψ)(\varphi , \psi ). Ta nói rằng α\alpha là cấu xạ chính tắc từ G vào Coh(φ,ψ\varphi , \psi ) và hh là đồng luân chính tắc nối α∘φ\alpha \circ \varphi với α∘ψ\alpha \circ \psi.

Đồ thị có hướng mà tập các đỉnh là tập các quỹ đạo của G, tập các mũi tên là tập các thành phần liên thông của H, và các ánh xạ gốc và ngọn được suy ra từ φ\varphi và ψ\psi bằng cách chuyển qua các thương, được gọi là khung của cặp (φ,ψ)(\varphi , \psi ).

Mệnh đề 4 01UD

Ánh xạ Orb(α\alpha ):: Orb(G) →\rightarrow Orb(Coh(φ,ψ\varphi , \psi )) là toàn ánh; các thớ của nó là các thành phần liên thông của khung của cặp (φ,ψ)(\varphi , \psi ).

Cấu xạ α\alpha là hợp thành của các cấu xạ α1:G→G1\alpha_1: G\rightarrow G_1, θ1:G1→\theta_1: G_1\rightarrow Grp(G1_1) và π:\pi : Grp(G1_1)→\rightarrow Coh(φ,ψ\varphi , \psi ). Ánh xạ θ1\theta_1 cảm sinh một song ánh từ tập hợp các thành phần liên thông của đồ thị có hướng G1G_1 lên tập hợp các quỹ đạo của Grp(G1_1), và ánh xạ Orb(π\pi ):: Orb(Grp(G1_1))→\rightarrow Orb(Coh(φ,ψ\varphi , \psi )) là song ánh (II, p. 170, nhận xét 1). Vì vậy chỉ cần chứng minh rằng ánh xạ từ Orb(G) vào π0(G1)\pi_0(G_1) suy ra từ α1\alpha_1 là toàn ánh và các thớ của nó là các thành phần liên thông của khung của cặp (φ,ψ)(\varphi , \psi ). Tính toàn ánh suy ra từ việc ánh xạ Som(α1\alpha_1) là ánh xạ đồng nhất. Quan hệ tương đương trong Som(G) được xác định bởi “aa và bb thuộc cùng một thành phần liên thông của G1G_1” được sinh bởi các quan hệ “tồn tại một mũi tên của G nối aa với bb” và “tồn tại một đỉnh hh của H sao cho φ(h)=a\varphi (h) =a và ψ(h)=b\psi (h) =b”. Quan hệ tương đương này tương thích với ánh xạ từ Som(G) vào Orb(G), và quan hệ suy ra từ nó trên Orb(G) được sinh bởi quan hệ “tồn tại một quỹ đạo η\eta của H sao cho Orb(φ\varphi )(η)=α(\eta ) =\alpha và Orb(ψ\psi )(η)=β(\eta ) =\beta”. Do đó nó là quan hệ “α\alpha và β\beta thuộc cùng một thành phần liên thông của khung của cặp (α,β)(\alpha , \beta )”.

Mệnh đề 5 01UE

Cho G′G' là một groupoid, cho η,η′\eta ,\eta ' là các cấu xạ groupoid từ Coh(φ,ψ\varphi , \psi ) vào G′G', và cho kk là một ánh xạ từ Som(G) vào Fl(G′'). Để kk là một đồng luân nối η\eta với η′\eta ', điều kiện cần và đủ là hai điều kiện sau được thỏa mãn:

(i) Ánh xạ kk là một đồng luân nối η∘α\eta \circ \alpha với η′∘α\eta '\circ \alpha;

(ii) Với mọi đỉnh aa của H, ta có

η(h(a))k(ψ(a))=k(φ(a))η′(h(a)) \eta (h(a))k(\psi (a)) =k(\varphi (a))\eta '(h(a))

Theo định nghĩa, để kk là một đồng luân nối η\eta với η′\eta ', điều kiện cần và đủ là hai điều kiện sau được thỏa mãn (nhắc lại rằng Som(G) = Som(Coh(φ,ψ\varphi , \psi ))) :

a) Với mọi đỉnh xx của Coh(φ,ψ\varphi , \psi ),k(x),k(x) nối η(x)\eta (x) với η′(x)\eta '(x) ;

b) Với mọi cặp (x,y)(x, y) đỉnh của Coh(φ,ψ\varphi , \psi ) và mọi mũi tên f∈f\in Flx,y_{x,y}(Coh(φ,ψ\varphi , \psi )), ta có η(f)k(y)=k(x)η′(f)\eta (f)k(y) =k(x)\eta '(f).

Theo Mệnh đề 2, chỉ cần kiểm tra điều kiện b) khi ff thuộc ảnh của Fl(α\alpha ) hoặc thuộc ảnh của hh, vì thế b) tương đương với phép hội của hai điều kiện c) và d) dưới đây:

c) Với x∈x\in Som(G), y∈y\in Som(G) và g∈g\in Flx,y(G)_{x,y}(G), ta có η(α(g))k(y)=k(x)η′(α(g))\eta (\alpha (g))k(y) =k(x)\eta '(\alpha (g));

d) Với mọi a∈a\in Som(H), ta có η(h(a))k(ψ(a))=k(φ(a))η′(h(a))\eta (h(a))k(\psi (a)) =k(\varphi (a))\eta '(h(a)). Điều kiện (i) tương đương với phép hội của a) và c), và điều kiện (ii) là điều kiện d), do đó hệ quả.

4. So sánh hai cohomotopiser

Xét một biểu đồ

H φ^{\varphi} G

uvψ(4) u^{\psi}_v \tag{4}
H′ψ′φ′G′ {H'}^{\varphi'}_{\psi'}G'

trong đó H, H′H', G, G′G' là các groupoid và u,v,φ,ψ,φ′,ψ′u,v,\varphi ,\psi ,\varphi ',\psi ' là các cấu xạ groupoid sao cho v∘φ=φ′∘uv\circ \varphi =\varphi '\circ u và v∘ψ=ψ′∘uv\circ \psi =\psi '\circ u.

Ký hiệu α\alpha là cấu xạ chính tắc từ G vào cohomotopiser Coh(φ,ψ\varphi , \psi ) và hh là phép đồng luân chính tắc nối α∘φ\alpha \circ \varphi với α∘ψ\alpha \circ \psi; định nghĩa α′\alpha ' và h′h' tương tự. Khi đó α′∘v\alpha '\circ v là một cấu xạ groupoid từ G vào Coh(φ′,ψ′\varphi ', \psi ') và h′∘h'\circ Som(uu) là một phép đồng luân nối α′∘φ′∘u\alpha '\circ \varphi '\circ u với α′∘ψ′∘u\alpha '\circ \psi '\circ u, nghĩa là nối α′∘v∘φ\alpha '\circ v\circ \varphi với α′∘v∘ψ\alpha '\circ v\circ \psi. Theo tính chất phổ quát của các cohomotopiser (II, p. 185, Mệnh đề 3), tồn tại một cấu xạ duy nhất của groupoid ww từ Coh(φ,ψ\varphi , \psi ) vào Coh(φ′,ψ′\varphi ', \psi ') sao cho w∘α=α′∘vw\circ \alpha =\alpha '\circ v và Fl(ww)∘h=h′∘\circ h=h'\circ Som(uu). Đặc biệt, ta đã mở rộng biểu đồ (4) thành một biểu đồ

H φ^{\varphi} G α^{\alpha} Coh(φ,ψ\varphi , \psi )

uvψw(5) u^{\psi}_vw \tag{5}

H′ψ′φ′G′α′{H'}^{\varphi'}_{\psi'}{G'}^{\alpha'} Coh(φ′,ψ′\varphi ', \psi ')

trong đó hình vuông thứ hai là giao hoán.

Định lý 1 01UF

Đặt các giả thiết sau:

(i) cấu xạ groupoid vv là một homotopism;

(ii) ánh xạ Orb(uu):: Orb(H) →\rightarrow Orb(H′'), suy ra từ uu bằng cách chuyển qua quỹ đạo, là song ánh;

(iii) trong mỗi quỹ đạo của H tồn tại một điểm aa sao cho đồng cấu ua:Ha→Hu(a)′u_a: H_a\rightarrow H'_{u(a)} là toàn ánh.

Khi đó, cấu xạ nhóm vị w:w: Coh(φ,ψ\varphi , \psi )→\rightarrow Coh(φ′,ψ′\varphi ', \psi ') là một đồng luân cấu.

Gọi G′′G'' là nhóm vị suy ra từ G′G' bằng cách co các mũi tên của một rừng định hướng cực đại. Cấu xạ chính tắc v′:G′→G′′v': G'\rightarrow G'' là một đồng luân cấu (II, p. 184, hệ quả 2 của mệnh đề 1). Hai biểu đồ

H φ^{\varphi} G H′φ′G′{H'}^{\varphi'}G'

uψv′∘vu\psi v'\circ v và IdH′ψ′v′_{H'}\psi 'v'

H′vv′′∘∘ψφ′′G′H′vv′′∘∘ψφ′′G′′ H'vv''\circ \circ \psi \varphi ''G'H'vv''\circ \circ \psi \varphi ''G''

sinh ra các cấu xạ nhóm vị w1′:w'_1: Coh(φ,ψ\varphi , \psi )→\rightarrow Coh(v′∘φ′,v′∘ψ′v'\circ \varphi ', v'\circ \psi ') và w2′:w'_2: Coh(φ′,ψ′\varphi ', \psi ')→\rightarrow Coh(v′∘φ′,v′∘ψ′v'\circ \varphi ', v'\circ \psi ') ; ta có w1′=w2′∘ww'_1=w'_2\circ w. Do đó chỉ cần chứng minh rằng w1′w'_1 và w2′w'_2 là các đồng luân cấu. Vì các ánh xạ Som(v′∘vv'\circ v):: Som(G) →\rightarrow Som(G′′'') và Som(v′v'):: Som(G′')→\rightarrow Som(G′′'') là toàn ánh, nên do đó chỉ cần chứng minh định lý dưới giả thiết bổ sung rằng ánh xạ Som(vv) là toàn ánh, một giả thiết mà ta sẽ giả sử trong toàn bộ phần còn lại của chứng minh.

Ta sẽ lần lượt chứng minh các khẳng định sau:

– Ánh xạ Orb(ww) là song ánh;

– Với mọi đỉnh aa của G, đồng cấu waw_a là toàn ánh;

– Với mọi đỉnh aa của G, đồng cấu waw_a là đơn ánh.

a) Theo giả thiết, ánh xạ Orb(uu) là song ánh; điều tương tự cũng đúng với ánh xạ Orb(vv) theo II, p. 182, mệnh đề 1, vì vv là một đồng luân cấu. Do đó cấu xạ của các quiver từ khung của cặp (φ,ψ)(\varphi , \psi ) tới khung của cặp (φ′,ψ′)(\varphi ', \psi ') được xác định bởi các ánh xạ Orb(uu) và Orb(vv) là một đẳng cấu. Đặc biệt, ánh xạ suy ra từ đó khi chuyển qua các thành phần liên thông là song ánh. Mệnh đề 4 của II, p. 185 khi đó suy ra rằng ánh xạ Orb(ww) là song ánh.

(b) Gọi f′f' là một mũi tên của G′G', và ký hiệu a′a' là gốc của nó và b′b' là đích của nó. Vì ánh xạ Som(vv) là toàn ánh, tồn tại các đỉnh aa và bb trong G sao cho a′=v(a)a'=v(a) và b′=v(b)b'=v(b). Vì cấu xạ vv là một đồng luân cấu, tồn tại một mũi tên ff của G nối aa với bb và một phần tử g∈Gag\in G_a sao cho v(g)=f′v(f)−1(v(g) =f'v(f)^{-1}(II, p. 182, prop. 1), do đó f′=v(gf)f'=v(gf). Điều này chứng tỏ rằng ánh xạ Fl(vv) là toàn ánh.

Bây giờ ta chứng minh rằng ánh xạ Fl(ww) là toàn ánh. Ảnh của nó chứa ảnh của Fl(α′\alpha '), vì ta có α′∘v=w∘α\alpha '\circ v=w\circ \alpha và ánh xạ Fl(vv) là toàn ánh. Gọi bb là một đỉnh của H′H'; gọi aa là một đỉnh của H sao cho bb và u(a)u(a) nằm trong cùng một quỹ đạo của H′H', và gọi ff là một mũi tên của H′H' nối u(a)u(a) với bb. Khi đó,

h′(u(a))⋅(α′∘ψ′)(f)=(α′∘φ′)(f)⋅h′(b) h'(u(a))\cdot (\alpha '\circ \psi ')(f) = (\alpha '\circ \varphi ')(f)\cdot h'(b)

vì h′h' là một đồng luân nối α′∘φ′\alpha '\circ \varphi ' với α′∘ψ′\alpha '\circ \psi '. Mũi tên h′(u(a))=h'(u(a)) = w(h(a))w(h(a)) thuộc ảnh của Fl(ww), và hai mũi tên α′(ψ′(f))\alpha '(\psi '(f)) và α′(φ′(f))\alpha '(\varphi '(f)) cũng vậy theo điều vừa nói trên. Suy ra mũi tên h′(b)h'(b) thuộc ảnh của Fl(ww), điều này chứng tỏ rằng ảnh của Fl(ww) chứa ảnh của h′h'. Theo mệnh đề 2 của II, p. 185, ánh xạ Fl(ww) là toàn ánh.

Lấy g′∈g'\in Coh(φ′,ψ′\varphi ', \psi ')u(a)_{u(a)}. Gọi gg là một mũi tên của Coh(φ,ψ\varphi , \psi ) sao cho w(g)=g′w(g) =g'. Ký hiệu xx và yy là gốc và đích của gg; ta có u(x)=u(x) = u(y)=u(a)u(y) =u(a). Gọi g1g_1 (tương ứng g2g_2) là một mũi tên của G nối aa với xx (tương ứng aa với yy) mà ảnh của nó dưới vv là eu(a)e_{u(a)}. Khi đó, α(g1)gα(g2)−1\alpha (g_1)g\alpha (g_2)^{-1} là một phần tử của Coh(φ,ψ\varphi , \psi )a_a mà ảnh của nó dưới waw_a là g′g'. Do đó, với mọi đỉnh aa của G, đồng cấu waw_a là toàn ánh.

c) Ta hãy chứng minh rằng, với mọi đỉnh aa của G, đồng cấu waw_a là đơn ánh. Bằng cách lần lượt xét các biểu đồ

H⇉φψGH⇉v∘φv∘ψG′IdH↓↓vvaˋu↓↓IdG′H⇉v∘φv∘ψG′H′⇉φ′ψ′G′\begin{array}{ccccccc} H & \underset{\psi}{\overset{\varphi}{\rightrightarrows}} & G & & H & \underset{v\circ\psi}{\overset{v\circ\varphi}{\rightrightarrows}} & G' \\ {\scriptstyle \mathrm{Id}_H}\big\downarrow & & \big\downarrow{\scriptstyle v} & \text{và} & {\scriptstyle u}\big\downarrow & & \big\downarrow{\scriptstyle \mathrm{Id}_{G'}} \\ H & \underset{v\circ\psi}{\overset{v\circ\varphi}{\rightrightarrows}} & G' & & H' & \underset{\psi'}{\overset{\varphi'}{\rightrightarrows}} & G' \end{array}

như vậy người ta được quy về việc xét hai trường hợp sau: 1) Ta có H′=HH'= H và u=u= IdH;2)_H; 2) Ta có G′=GG'= G và v=v= IdG_G.

1) Giả sử rằng ta có H′=HH'= H và u=u= IdH_H.

Xét một cấu xạ groupoid v′:G′→Gv': G'\rightarrow G là một nghịch đảo của vv theo nghĩa đồng luân và một đồng luân k:k: Som(G) →\rightarrow Fl(G) nối v′∘vv'\circ v với IdG_G. Theo Nhận xét 1 của II, p. 181, các ánh xạ α∘k∘φ\alpha \circ k\circ \varphi và α∘k∘ψ\alpha \circ k\circ \psi là các đồng luân nối tương ứng α∘v′∘φ′\alpha \circ v'\circ \varphi ' với α∘φ\alpha \circ \varphi và α∘v′∘ψ′\alpha \circ v'\circ \psi ' với α∘ψ\alpha \circ \psi. Do đó (xem II, p. 180), ánh xạ

h1:h_1: Som(H) →\rightarrow Fl(Coh(φ,ψ\varphi , \psi )),

x↦(α∘k∘φ)(x)⋅h(x)⋅((α∘k∘ψ)(x))−1 x\mapsto (\alpha \circ k\circ \varphi )(x)\cdot h(x)\cdot ((\alpha \circ k\circ \psi )(x))^{-1}

là một đồng luân nối α∘v′∘φ′\alpha \circ v'\circ \varphi ' với α∘v′∘ψ′\alpha \circ v'\circ \psi '. Theo tính chất phổ quát của các cohomotoper (II, p. 185, prop. 3), tồn tại một cấu xạ groupoid duy nhất w′:w': Coh(φ′,ψ′\varphi ', \psi ')→\rightarrow Coh(φ,ψ\varphi , \psi ) sao cho α∘v′=\alpha \circ v'= w′∘α′w'\circ \alpha ' và h1=h_1= Fl(w′w')∘h′\circ h'.

H ψφ^{\varphi}_{\psi} G α^{\alpha} Coh(φ,ψ\varphi , \psi )

IdHvw_Hvw

H ψ′φ′G′α′^{\varphi'}_{\psi'}{G'}^{\alpha'} Coh(φ′,ψ′\varphi ', \psi ')

IdHv′w′_Hv'w'

H ψφ^{\varphi}_{\psi} G α^{\alpha} Coh(φ,ψ\varphi , \psi ) .

Đặc biệt, ta có

α∘v′∘v=w′∘α′∘v=w′∘w∘α \alpha \circ v'\circ v=w'\circ \alpha '\circ v=w'\circ w\circ \alpha

Vì kk là một đồng luân nối v′∘vv'\circ v với IdG,α∘k_G,\alpha \circ k là một đồng luân nối w′∘w∘αw'\circ w\circ \alpha với α\alpha. Vì Fl(w′∘ww'\circ w)∘h=\circ h= Fl(w′w')∘h′=h1\circ h'=h_1, nên với mọi đỉnh xx của H,

Fl(w′∘ww'\circ w)∘h(x)⋅(α∘k∘ψ)(x)=h1(x)⋅(α∘k∘ψ)(x)=(α∘k∘φ)(x)⋅h(x)\circ h(x)\cdot (\alpha \circ k\circ \psi )(x) =h_1(x)\cdot (\alpha \circ k\circ \psi )(x) = (\alpha \circ k\circ \varphi )(x)\cdot h(x),

theo định nghĩa của h1h_1. Theo prop. 5 của II, p. 186, áp dụng cho các cấu xạ groupoid w′∘ww'\circ w và IdCoh(φ,ψ)_{Coh(\varphi ,\psi)}, ánh xạ α∘k\alpha \circ k là một đồng luân nối w′∘ww'\circ w với IdG_G. Đặc biệt, w′∘ww'\circ w là một homotopism.

Do đó, với mọi đỉnh aa của G, đồng cấu nhóm (w′∘w)a(w'\circ w)_a là song ánh (II, p. 182, prop. 1). Suy ra đồng cấu waw_a là đơn ánh, do đó cho kết quả trong trường hợp A).

2) Giả sử rằng ta có G′=GG'= G và v=v= IdG_G.

Cho xx là một đỉnh của H′H'. Vì ánh xạ Orb(uu) là toàn ánh, tồn tại một đỉnh aa của H và một mũi tên ff của H′H' nối u(a)u(a) với xx. Các mũi tên α(φ′(f))−1,h(a)\alpha (\varphi '(f))^{-1},h(a) và α(ψ′(f))\alpha (\psi '(f)) lần lượt nối φ′(x)\varphi '(x) với φ′(u(a))=φ(a),φ(a)\varphi '(u(a)) =\varphi (a),\varphi (a) với ψ(a)\psi (a) và ψ′(u(a))=ψ(a)\psi '(u(a)) =\psi (a) với ψ′(x)\psi '(x), và do đó khả hợp trong Coh(φ,ψ\varphi , \psi ). Đặt

h2(x)=α(φ′(f))−1⋅h(a)⋅α(ψ′(f)) h_2(x) =\alpha (\varphi '(f))^{-1}\cdot h(a)\cdot \alpha (\psi '(f))

Hãy kiểm tra rằng mũi tên thu được h2(x)h_2(x) không phụ thuộc vào các phần tử đã chọn aa và ff. Cho a′a' là một đỉnh của H và cho f′f' là một mũi tên của H′H' nối u(a′)u(a') với xx. Vì ánh xạ Orb(uu) là đơn ánh, các đỉnh aa và a′a' của H thuộc cùng một quỹ đạo và tồn tại một mũi tên c∈c\in Fl(H) nối aa với a′a'. Khi đó u(c)f′f−1u(c)f'f^{-1} là một vòng tại u(a)u(a) trong H′H'. Theo giả thiết (iii), tồn tại một đỉnh bb của H sao cho đồng cấu ubu_b là toàn ánh và một mũi tên c′c' của H nối bb với aa; khi đó, Int(u(c′)u(c'))(u(c)f′f−1)(u(c)f'f^{-1}) là một vòng tại u(b)u(b) trong H, và vì thế là ảnh qua ubu_b của một vòng c′′c'' tại bb. Do đó, mũi tên g=(c′c)−1c′′c′g= (c'c)^{-1}c''c' của H nối đỉnh a′a' với đỉnh aa và thỏa mãn f′=u(g)ff'=u(g)f. Khi đó ta có

α(φ′(f′))−1h(a′)α(ψ′(f′)) \alpha (\varphi '(f'))^{-1}h(a')\alpha (\psi '(f'))
=α(φ′(f))−1α(φ′(u(g)))−1h(a′)α(ψ′(u(g)))α(ψ′(f)) =\alpha (\varphi '(f))^{-1}\alpha (\varphi '(u(g)))^{-1}h(a')\alpha (\psi '(u(g)))\alpha (\psi '(f))
=α(φ′(f))−1α(φ(g))−1h(a′)α(ψ(g))α(ψ′(f)) =\alpha (\varphi '(f))^{-1}\alpha (\varphi (g))^{-1}h(a')\alpha (\psi (g))\alpha (\psi '(f))
=α(φ′(f))−1⋅h(a)⋅α(ψ′(f)) =\alpha (\varphi '(f))^{-1}\cdot h(a)\cdot \alpha (\psi '(f))

vì hh là một đồng luân nối α∘φ\alpha \circ \varphi với α∘ψ\alpha \circ \psi. Điều này chứng minh tính độc lập đã được thông báo.

Theo phép dựng, ta có h2(u(x))=h(x)h_2(u(x)) =h(x) với mọi x∈x\in Som(H). Do đó ta đã xác định một ánh xạ h2h_2 từ Som(H′') vào Fl(Coh(φ,ψ\varphi , \psi )). Gọi cc là một mũi tên của H′H', và gọi xx là gốc của nó và yy là ngọn của nó. Gọi aa là một đỉnh của H và ff là một mũi tên của H′H' nối u(a)u(a) với xx. Khi đó fcf c là một mũi tên của H′H' nối u(a)u(a) với yy. Theo định nghĩa của h2h_2, do đó ta có

h2(x)α(ψ′(c))=α(φ′(f))−1h(a)α(ψ′(f))α(ψ′(c)) h_2(x)\alpha (\psi '(c)) =\alpha (\varphi '(f))^{-1}h(a)\alpha (\psi '(f))\alpha (\psi '(c))
=α(φ′(c))α(φ′(fc))−1h(a)α(ψ′(fc)) =\alpha (\varphi '(c))\alpha (\varphi '(f c))^{-1}h(a)\alpha (\psi '(f c))
=α(φ′(c))h2(y) =\alpha (\varphi '(c))h_2(y)

Điều này chứng tỏ rằng h2h_2 là một đồng luân nối α∘φ′\alpha \circ \varphi ' với α∘ψ′\alpha \circ \psi '.

Theo tính chất phổ quát của các cohomotopizer, tồn tại một cấu xạ duy nhất của groupoid w′:w': Coh(φ′,ψ′\varphi ', \psi ')→\rightarrow Coh(φ,ψ\varphi , \psi ) sao cho w′∘α′=αw'\circ \alpha '=\alpha và h2h_2 = Fl(w′w')∘h′\circ h'. Ta có w′∘w∘α=w′∘α′=αw'\circ w\circ \alpha =w'\circ \alpha '=\alpha và Fl(w′∘ww'\circ w)∘h=\circ h= Fl(w′w')∘h′∘\circ h'\circ Som(uu) =h2∘u=h=h_2\circ u=h theo định nghĩa của h2h_2. Theo tính chất phổ quát của các cohomotopizer, điều đó suy ra rằng ta có w′∘w=w'\circ w= IdCoh(φ,ψ)_{Coh(\varphi ,\psi)}. Đặc biệt, với mọi a∈a\in Som(G), đồng cấu waw_a là đơn ánh.

Khi đó suy ra từ Mệnh đề 1 của II, p. 182 rằng cấu xạ ww là một homotopism, do đó định lý được chứng minh.

5. Các Nhóm Đẳng Hướng của một Cohomotopizer

Gọi G và H là các groupoid, và gọi φ,ψ\varphi ,\psi là các cấu xạ groupoid từ H vào G. Mục đích của số này là tính các nhóm đẳng hướng của cohomotopizer Coh(φ,ψ\varphi , \psi ). Ta lại dùng các ký hiệu G1,h1,θ1,α,hG_1, h_1, \theta_1, \alpha , h của số o3^o3.

Gọi Γ0\Gamma_0 là khung của cặp (φ,ψ)(\varphi , \psi ); xin nhắc lại (II, p. 185, Định nghĩa 3) rằng đó là quiver (Orb(G), Orb(H),φ0,ψ0, \varphi_0, \psi_0), trong đó φ0\varphi_0 và ψ0\psi_0 là các ánh xạ từ Orb(H) vào Orb(G) suy ra từ các ánh xạ φ\varphi và ψ\psi bằng cách chuyển qua các quỹ đạo.

Trong tất cả những gì tiếp theo trong số này, hơn nữa ta sẽ giả sử rằng quiver Γ0\Gamma_0 là liên thông và khác rỗng; theo II, p. 185, Mệnh đề 4, điều này tương đương với việc giả sử rằng groupoid Coh(φ,ψ\varphi , \psi ) là bắc cầu, hay cũng tương đương với việc quiver G1G_1 là liên thông và khác rỗng (II, p. 185, Mệnh đề 2).

Định nghĩa 4 01UG

Một trang bị nền của cặp (φ,ψ)(\varphi , \psi ) được nói là được cho bởi dữ liệu:

(i) Với mọi i∈i\in Orb(G), một đỉnh a(i)a(i) trong quỹ đạo ii của G;

(ii) Với mọi j∈j\in Orb(H), một đỉnh b(j)b(j) trong quỹ đạo jj của H;

(iii) Với mọi j∈j\in Orb(H), các mũi tên c1(j)c_1(j) và c2(j)c_2(j) của G nối tương ứng φ(b(j))\varphi (b(j)) với a(φ0(j))a(\varphi_0(j)) và ψ(b(j))\psi (b(j)) với a(ψ0(j))a(\psi_0(j));

(iv) Một đồ thị con có hướng T của khung Γ0\Gamma_0 mà đồ thị liên kết của nó là một cây cực đại của đồ thị Γ~0\widetilde{\Gamma}_0;

(v) Một quỹ đạo i0i_0 của G.

Hãy chọn một trang bị nền (a,b,c1,c2,T,i0)(a, b, c_1, c_2,T, i_0) của cặp (φ,ψ)(\varphi , \psi ). Ta định nghĩa một cấu xạ quiver τ1\tau_1 của Γ0\Gamma_0 vào Grp(G1_1) bằng cách đặt τ1(i)=a(i)\tau_1(i) =a(i) với i∈i\in Som(Γ0_0) == Orb(G) và

τ1(j)=c1(j)−1⋅h1(b(j))⋅c2(j) \tau_1(j) =c_1(j)^{-1}\cdot h_1(b(j))\cdot c_2(j)

với j∈j\in Fl(Γ0_0) == Orb(H). Ta sẽ ký hiệu bởi τ0\tau_0 hợp thành của τ1\tau_1 và cấu xạ chính tắc θ1\theta_1 của Grp(G1_1) vào Coh(φ,ψ\varphi , \psi ) ; đó là một cấu xạ quiver của Γ0\Gamma_0 vào Coh(φ,ψ\varphi , \psi ).

Với i∈i\in Orb(G), ta ký hiệu bởi αi:Ga(i)→\alpha_i: G_{a(i)}\rightarrow Coh(φ,ψ\varphi , \psi )a(i)_{a(i)} đồng cấu nhóm suy ra từ cấu xạ α:G→\alpha : G\rightarrow Coh(φ,ψ\varphi , \psi ) bằng hạn chế vào các nhóm đẳng hướng tại a(i)a(i).

Với j∈j\in Orb(H), ta ký hiệu

φj=\varphi_j= Int(c1(j)c_1(j))−1∘φb(j):Hb(j)→Ga(φ0(j))^{-1}\circ \varphi_{b(j)}: H_{b(j)}\rightarrow G_{a(\varphi_0(j))}

và

ψj=\psi_j= Int(c2(j)c_2(j))−1∘ψb(j):Hb(j)→Ga(ψ0(j))^{-1}\circ \psi_{b(j)}: H_{b(j)}\rightarrow G_{a(\psi_0(j))},

sao cho ta có, với mọi phần tử ff của Hb(j)H_{b(j)},

(6) φj(f)=c1(j)−1φ(f)c1(j)\varphi_j(f) =c_1(j)^{-1}\varphi (f)c_1(j) và ψj(f)=c2(j)−1ψ(f)c2(j)\psi_j(f) =c_2(j)^{-1}\psi (f)c_2(j).

Với mỗi đỉnh ii của Γ0\Gamma_0, ta lại ký hiệu bởi did_i lớp đường đi duy nhất nối i0i_0 với ii trong cây T~\widetilde{T}; nó được coi như một mũi tên của Grp(Γ0_0). Khi đó ta ký hiệu bởi δi\delta_i mũi tên của Coh(φ,ψ\varphi , \psi ) là ảnh của did_i dưới cấu xạ chính tắc từ Grp(Γ0_0) vào Coh(φ,ψ\varphi , \psi ) suy ra từ τ0\tau_0; gốc của δi\delta_i là a(i0)a(i_0), đích của nó là a(i)a(i).

Cấu xạ quiver τ0\tau_0, các đồng cấu nhóm αi\alpha_i (với i∈i\in Orb(G)),φj,\varphi_j và ψj\psi_j (với j∈j\in Orb(H)), và các mũi tên δi\delta_i trong Coh(φ,ψ\varphi , \psi ) (với i∈i\in Orb(G)) sẽ được gọi là được suy ra từ trang bị cơ bản.

Nếu (Gi)i∈I(G_i)_{i\in I} là một họ các nhóm, ta ký hiệu bởi i∗∈IGi_i*_{\in I}G_i tích tự do của chúng; ảnh của một phần tử g∈Gig\in G_i dưới ánh xạ chính tắc từ GiG_i vào i∗∈IGi_i*_{\in I}G_i sẽ được ký hiệu bởi [g][g], hoặc thậm chí bởi gg nếu không thể có sự nhầm lẫn nào. Nếu S là một tập hợp, ta ký hiệu bởi F(S) nhóm tự do được xây dựng trên S (A, I, p. 84).

Mệnh đề 6 01UH

Tồn tại một đồng cấu nhóm duy nhất

Λ:(∗Ga(i))∗\Lambda :(*G_{a(i)})* F(Orb(H)) →\rightarrow Coh(φ,ψ\varphi , \psi )a(i0)_{a(i_0)}

i∈i\inOrb(G)

sao cho

(7) Λ(f)=δiαi(f)δi−1\Lambda (f) =\delta_i\alpha_i(f)\delta_i^{-1} với i∈i\in Orb(G) và f∈Ga(i)f\in G_{a(i)},

(8) Λ(j)=δφ0(j)τ0(j)δψ0(j)−1\Lambda (j) =\delta_{\varphi_0(j)}\tau_0(j)\delta^{-1}_{\psi_0(j)} với j∈j\in Orb(H).

Đồng cấu Λ là toàn ánh; hạt nhân của nó là nhóm con chuẩn tắc nhỏ nhất của (∗iGa(i))∗(*_iG_{a(i)})* F(Orb(H)) chứa các phần tử jj của Fl(T) và các phần tử φj(f)jψj(f)−1j−1\varphi_j(f)j\psi_j(f)^{-1}j^{-1}, với j∈j\in Orb(H) và f∈Hb(j)f\in H_{b(j)}.

Sự tồn tại và tính duy nhất của đồng cấu Λ là hệ quả của tính chất phổ quát của các tích tự do và các nhóm tự do (A, I, p. 85, prop. 8).

Gọi A là tập hợp các a(i)a(i) với i∈i\in Orb(G) và GAG_A là groupoid con đầy đủ của G mà tập hợp các đỉnh là A. Với mọi x∈x\in Som(G), gọi x‾\overline{x} là quỹ đạo của xx trong G và chọn một mũi tên dxd_x của G nối xx với a(x‾)a(\overline{x}). Cặp vv tạo bởi ánh xạ x↦a(x‾)x\mapsto a(\overline{x}) từ Som(G) vào A và ánh xạ gán cho f∈f\in Flx,y(G)_{x,y}(G) phần tử dx−1fdyd^{-1}_xf d_y của Fla(x‾),a(y‾)(GA)_{a(\overline{x}),a(\overline{y})}(G_A) là một cấu xạ groupoid. Suy ra từ Mệnh đề 1 của II, p. 182 rằng vv là một homotopism. Đặt φ′=v∘φ\varphi '=v\circ \varphi và ψ′=v∘ψ\psi '=v\circ \psi, rồi gọi ww là cấu xạ chính tắc từ Coh(φ,ψ\varphi , \psi ) vào Coh(φ′,ψ′\varphi ', \psi ') ; đó là một homotopism (II, p. 187, Định lý 1).

Các quỹ đạo của GAG_A là các tập hợp {a}\{a\}, với a∈Aa\in A, và đơn ánh GA→GG_A\rightarrow G cảm sinh một song ánh từ Orb(GA_A) lên Orb(G), nhờ đó ta sẽ đồng nhất hai tập hợp này. Người ta xác định một trang bị cơ sở (a′,b′,β1′,β2′,T′,i0)(a', b', \beta '_1, \beta '_2,T', i_0) của cặp (φ′,ψ′)(\varphi ', \psi ') bằng cách đặt a′(i)=a(i)a'(i) =a(i) với i∈i\in Orb(G),b′(j)=b(j),β1′(j)=v(c1(j)),β2′(j)=v(c2(j)),b'(j) =b(j),\beta '_1(j) =v(c_1(j)),\beta '_2(j) =v(c_2(j)) với j∈j\in Orb(H) và T′=TT'= T. Các đồng cấu nhóm φj′\varphi '_j và ψj′\psi '_j (với j∈j\in Orb(H)), cấu xạ đồ thị có hướng τ0′\tau '_0, các mũi tên δi′\delta '_i (với i∈i\in Orb(G)), và do đó đồng cấu nhóm Λ′\Lambda ', suy ra từ trang bị cơ sở này, là các hợp thành với ww của các đồng cấu tương ứng φj,ψj\varphi_j,\psi_j, của cấu xạ đồ thị có hướng τ0\tau_0, của các mũi tên tương ứng δi\delta_i và của đồng cấu Λ.

Cho B là tập hợp các b(j)b(j) với j∈j\in Orb(H), gọi HBH_B là groupoid con đầy đủ của H có tập đỉnh là B; ký hiệu u:HB→Hu: H_B\rightarrow H là đơn ánh chính tắc; đặt φ′′=φ′∘u\varphi ''=\varphi '\circ u và ψ′′=ψ′∘u\psi ''=\psi '\circ u. Cấu xạ uu cảm sinh một song ánh B →\rightarrow Orb(H), nhờ đó ta sẽ đồng nhất hai tập hợp này. Từ định lý 1 của II, p. 187 còn suy ra được một đồng luân cấu chính tắc w′:w': Coh(φ′′,ψ′′\varphi '', \psi '')→\rightarrow Coh(φ′,ψ′\varphi ', \psi '). Hơn nữa, cặp (φ′′,ψ′′)(\varphi '', \psi '') được trang bị một trang bị cơ sở (a′′,b′′,β1′′,β2′′,T′′,i0)(a'', b'', \beta ''_1, \beta ''_2,T'', i_0), sao cho Λ′,φj′,ψj′,τ0′,δi′(i,i′∈\Lambda ', \varphi '_j, \psi '_j, \tau '_0, \delta '_i(i, i'\in Orb(G), j∈j\in Orb(H)) là các hợp thành với w′w' của Λ′′,φj′′,ψj′′,τ0′′,δi′′\Lambda '', \varphi ''_j, \psi ''_j, \tau ''_0, \delta ''_i.

Các cấu xạ groupoid khác nhau đã được đưa vào được tóm tắt bằng biểu đồ sau:

HBψ′′φ′′GAα′′H_{B\psi''}^{\varphi''}G_A^{\alpha''} Coh(φ′′,ψ′′\varphi '', \psi '')

w′w'

(9) H φ′GAα′^{\varphi'}G_A^{\alpha'} Coh(φ′′,ψ′′\varphi '', \psi '')

ψ′\psi '
vw vw

H ψφ^{\varphi}_{\psi} G α^{\alpha} Coh(φ,ψ\varphi , \psi ) .

Do đó, để chứng minh mệnh đề, ta có thể giả sử rằng A = Som(G) và B = Som(H), nói cách khác các ánh xạ chính tắc Som(G) →\rightarrow Orb(G) và Som(H) →\rightarrow Orb(H) là song ánh; trong phần còn lại của chứng minh, ta sẽ đặt mình dưới các giả thiết ấy.

Khi đó quiver G1G_1 có tập đỉnh là A và các mũi tên là tập hợp tổng của các tập hợp Ga,a∈AG_a,a\in A, và của tập hợp B. Các mũi tên của GaG_a là các vòng tại aa; nếu b∈Bb\in B, mũi tên bb nối φ(b)\varphi (b) với ψ(b)\psi (b), các mũi tên c1(b)c_1(b) và c2(b)c_2(b) lần lượt là các vòng tại φ(b)\varphi (b) và ψ(b)\psi (b). Quiver T sẽ được đồng nhất với một cây có hướng của G1G_1; đó là một cây có hướng cực đại vì tập hợp các đỉnh của nó bằng tập hợp các đỉnh của G1(G_1(II, p. 157, mệnh đề 1). Ta đặt a0=a(i0)a_0=a(i_0). Vì tập hợp các mũi tên của khung Γ0\Gamma_0 của cặp (φ,ψ)(\varphi , \psi ) được đồng nhất với B, cấu xạ của quiver τ1:Γ0→\tau_1: \Gamma_0\rightarrow Grp(G1_1) gán cho mũi tên bb lớp các đường đi c1(b)−1bc2(b)c_1(b)^{-1}bc_2(b) trong đồ thị G~1\widetilde{G}_1.

Nhắc lại rằng θ1\theta_1 ký hiệu cấu xạ chính tắc của quiver từ G1G_1 vào Grp(G1_1). Gọi

λ:a∗∈AF(Ga)∗F(B)→\lambda :_a*_{\in A}F(G_a)*F(B)\rightarrow Grp(G1_1)a0_{a_0}

là đồng cấu nhóm duy nhất sao cho ta có

λ(f)=τ1(da)θ1(f)τ1(da)−1\lambda (f) =\tau_1(d_a)\theta_1(f)\tau_1(d_a)^{-1} nếu a∈Aa\in A và f∈Gaf\in G_a;

λ(b)=τ1(dφ(b))τ1(b)τ1(dψ(b))−1\lambda (b) =\tau_1(d_{\varphi(b)})\tau_1(b)\tau_1(d_{\psi(b)})^{-1} nếu b∈Bb\in B.

Do đó ta có λ=λ′∘ε\lambda =\lambda '\circ \varepsilon, trong đó λ′\lambda ' kí hiệu đồng cấu nhóm chính tắc từ a∗∈AF(Ga)∗F(B)_a*_{\in A}F(G_a)*F(B) vào Grp(G1_1)a0_{a_0} được xác định bởi cây định hướng cực đại T (II, p. 179, mệnh đề 9), và trong đó ε\varepsilon là tự đẳng cấu duy nhất của nhóm a∗∈AF(Ga)∗F(B)_a*_{\in A}F(G_a)*F(B) sao cho ε(f)=f\varepsilon (f) =f với a∈Aa\in A và f∈Gaf\in G_a, và ε(b)=c1(b)−1h1(b)c2(b)\varepsilon (b) =c_1(b)^{-1}h_1(b)c_2(b) với b∈Bb\in B. Theo nhận xét 2 của II, p. 179, đồng cấu λ\lambda là toàn ánh và hạt nhân của nó là nhóm con chuẩn tắc nhỏ nhất của a∗∈AF(Ga)∗F(B)_a*_{\in A}F(G_a)*F(B) chứa các mũi tên của T.

Kí hiệu bởi π:\pi : Grp(G1_1)→\rightarrow Coh(φ,ψ\varphi , \psi ) cấu xạ groupoid chính tắc. Theo II, p. 177, hệ quả 1 của mệnh đề 8, đồng cấu nhóm πa0\pi_{a_0} từ Grp(G1_1)a0_{a_0} vào Coh(φ,ψ\varphi , \psi )a0_{a_0} là toàn ánh, và hạt nhân của nó là nhóm con chuẩn tắc nhỏ nhất của Grp(G1_1)a0_{a_0} chứa các vòng Int(τ1(da)\tau_1(d_a))(α1(f)α1(g)α1(fg)−1)(\alpha_1(f)\alpha_1(g)\alpha_1(f g)^{-1}), với a∈Aa\in A và f,g∈Gaf,g\in G_a, và các vòng Int(τ1(dφ(b))\tau_1(d_{\varphi(b)}))(φ(f)bψ(f)−1b−1)(\varphi (f)b\psi (f)^{-1}b^{-1}), với b∈Bb\in B và f∈Hbf\in H_b.

Nếu p:F(⋃Ga∪B)→(a∗∈AGa)∗F(B)p: F(\bigcup G_a\cup B)\rightarrow (_a*_{\in A}G_a)*F(B) kí hiệu đồng cấu toàn ánh chính tắc, thì do đó ta có Λ∘p=πa0∘λ\Lambda \circ p=\pi_{a_0}\circ \lambda. Công thức này suy ra rằng đồng cấu Λ là toàn ánh; còn phải xác định hạt nhân của nó.

Với a∈Aa\in A và f∈Gaf\in G_a, kí hiệu bởi [f][f] ảnh của f∈F(Ga)f\in F(G_a) trong nhóm a∗∈AF(Ga)∗F(B)_a*_{\in A}F(G_a)*F(B). Khi đó, với a∈A,f,g∈Gaa\in A,f, g\in G_a, ta có

Int(τ1(da)\tau_1(d_a))(α1(f)α1(g)α1(fg)−1)=λ([f][g][fg]−1)(\alpha_1(f)\alpha_1(g)\alpha_1(f g)^{-1}) =\lambda ([f][g][f g]^{-1}).

Tương tự, với b∈Bb\in B và f∈Hbf\in H_b, định nghĩa của các đồng cấu φb\varphi_b và ψb\psi_b (công thức (6) của II, p. 193) suy ra rằng ta có

Int(τ1(dφ(b))\tau_1(d_{\varphi(b)}))(φ(f)h1(b)ψ(f)−1h1(b)−1)(\varphi (f)h_1(b)\psi (f)^{-1}h_1(b)^{-1})

=τ1(dφ(b))φ(f)(c1(b)τ1(b)c2(b)−1)ψ(f)−1 =\tau_1(d_{\varphi(b)})\varphi (f)(c_1(b)\tau_1(b)c_2(b)^{-1})\psi (f)^{-1}
(c2(b)τ1(b)−1c1(b)−1)τ1(dφ(b))−1 (c_2(b)\tau_1(b)^{-1}c_1(b)^{-1})\tau_1(d_{\varphi(b)})^{-1}
=τ1(dφ(b))c1(b)φb(f)τ1(b)ψb(f)−1τ1(b)−1c1(b)−1τ1(dφ(b))−1 =\tau_1(d_{\varphi(b)})c_1(b)\varphi_b(f)\tau_1(b)\psi_b(f)^{-1}\tau_1(b)^{-1}c_1(b)^{-1}\tau_1(d_{\varphi(b)})^{-1}
=λ(c1(b))λ(φb(f)[b]ψb(f)−1[b]−1)λ(c1(b))−1 =\lambda (c_1(b))\lambda (\varphi_b(f)[b]\psi_b(f)^{-1}[b]^{-1})\lambda (c_1(b))^{-1}

Do đó, hạt nhân của đồng cấu πa0∘λ\pi_{a_0}\circ \lambda là nhóm con chuẩn tắc nhỏ nhất của a∗∈AF(Ga)∗F(B)_a*_{\in A}F(G_a)*F(B) chứa các phần tử [f][g][fg]−1[f][g][f g]^{-1} với a∈Aa\in A và f,g∈Gaf,g\in G_a, các phần tử φb(f)[b]ψb(f)−1[b]−1\varphi_b(f)[b]\psi_b(f)^{-1}[b]^{-1} với b∈Bb\in B và f∈Hbf\in H_b, và các phần tử [b][b], với b∈b\in Fl(T).

Cuối cùng, hạt nhân của đồng cấu Λ là nhóm con chuẩn tắc nhỏ nhất của (a∗∈AGa)∗F(B)(_a*_{\in A}G_a)*F(B) chứa các ảnh qua pp của các phần tử đi trước, nói cách khác, các phần tử [b][b], với b∈b\in Fl(T), và các phần tử φb(f)[b]ψb(f)[b]−1\varphi_b(f)[b]\psi_b(f)[b]^{-1}, với b∈Bb\in B và f∈Hbf\in H_b. Mệnh đề như vậy được chứng minh.

Machine translation of the English, by gpt-5.4, against glossary version 34. Not checked by a person.