Gọi K là vị nhóm con phân biệt nhỏ nhất của G mà tập các mũi tên chứa ảnh của $h$. Cấu xạ $G_{a_0}\rightarrow G'_{\beta(a_0)}$ là toàn ánh và hạt nhân của nó bằng $K_{a_0}($II, p. 170, prop. 2). Khi đó mệnh đề suy ra từ mệnh đề 8 của II, p. 176.

Cho Z ký hiệu tập các phần tử $\mathbf{z}\in \Omega (\widetilde{\Gamma})$ sao cho $c(\mathbf{z})\subset N$.

Cho $z\in$ Fl($\widetilde{\Gamma}$). Ta có $c(z, z) =\{e_a\}$ theo định nghĩa, do đó $(z, z)\in Z$.

Cho $(z_1, . . . , z_n)\in Z$. Theo định nghĩa của $c$, lớp liên hợp $c(z_1, . . . , z_n)$ bằng $c(z_n, z_1, . . . , z_{n-1})$ và được tạo thành bởi các phần tử nghịch đảo của các phần tử của $c(\overline{z}_n, . . . ,\overline{z}_1)$. Điều này cho thấy Z thỏa mãn điều kiện (ii).

Với ký hiệu của điều kiện (iii), ta có thể chọn các phần tử $u\in c(\mathbf{z}),v\in c(\mathbf{z}')$ và $w\in c(\mathbf{z}\mathbf{z}')$ sao cho $uv=w$. Nếu hai trong ba phần tử $u,v$ và $w$ thuộc N, thì phần tử thứ ba cũng vậy, do đó N thỏa mãn (iii).

Ký hiệu là ký hiệu của (iv), ta có, với mọi số nguyên $i$ sao cho $1\leqslant i\leqslant n$, quan hệ

vì $h$ là một đồng luân nối $\varphi$ với $\psi$. Đẳng thức này cũng có thể viết thành

Tính đến các quan hệ $\widetilde{\psi}(f_i, \varepsilon_i) =\widetilde{\varphi}(f_{i+1}, \varepsilon_{i+1})$ với $1\leqslant i < n$ và $\widetilde{\psi}(f_n, \varepsilon_n) =\widetilde{\varphi}(f_1, \varepsilon_1)$, ta suy ra

nên các lớp liên hợp $c((a_1, \varepsilon_1), . . . ,(a_n, \varepsilon_n))$ và $c((b_1, \varepsilon_1), . . . ,(b_n, \varepsilon_n))$ bằng nhau. Điều này cho thấy Z thỏa mãn điều kiện (iv) và hoàn tất chứng minh của mệnh đề.

Cho N là nhóm con nhỏ nhất của $G_{a_0}$ chứa $c(\mathbf{z})$ với mọi $\mathbf{z}\in Z$; nó là phân biệt. Cho $Z'$ là tập hợp các phần tử $\mathbf{z}$ của $\Omega (\widetilde{\Gamma})$ sao cho $c(\mathbf{z})\in N$. Theo mệnh đề 2, $Z'$ là một tập con phân biệt của $\Omega (\widetilde{\Gamma})$. Nó chứa Z. Vậy theo giả thiết, nó bằng $\Omega (\widetilde{\Gamma})$. Khi đó suy ra từ mệnh đề 1 (II, p. 197) rằng N là hạt nhân của đồng cấu $\beta_a$.

a) Ta có $\gamma \circ \varphi =\gamma \circ \psi$.

b) Cho $G'$ là một groupoid và $\theta : G\rightarrow G'$ là một cấu xạ groupoid sao cho $\theta \circ \varphi =\theta \circ \psi$. Tồn tại duy nhất một cấu xạ groupoid $\overline{\theta}:$ Coeg($\varphi , \psi$ )$\rightarrow G'$ sao cho $\overline{\theta}\circ \gamma =\theta$.

Cho $a$ là một đỉnh của H. Mũi tên $h(a)$ của Coh($\varphi , \psi$ ) nối $\alpha (\varphi (a))$ với $\alpha (\psi (a))$. Theo định nghĩa của groupoid Coeg($\varphi , \psi$ ), gốc và đích của mũi tên $\beta (h(a))$ bằng nhau; do đó ta có $\gamma (\varphi (a)) =\gamma (\psi (a))$.

Cho $f$ là một mũi tên của H; nếu $a$ ký hiệu gốc của nó và $b$ ký hiệu đích của nó, thì ta có

Lấy ảnh bởi $\beta$ của hai vế của đẳng thức này, ta thu được quan hệ $\gamma (\varphi (f)) =\gamma (\psi (f))$. Điều này chứng minh mệnh đề a).

Hãy chứng minh b). Ánh xạ $\eta :$ Som(H) $\rightarrow$ Fl(G$'$) gắn với mỗi đỉnh $a$ của H mũi tên $e_{\theta(\varphi(a))}$ của $G'$ là một đồng luân nối $\theta \circ \varphi$ với $\theta \circ \psi$. Theo tính chất phổ quát của các cohomotopizer (II, p. 185, prop. 3), tồn tại một cấu xạ groupoid duy nhất $\theta_1:$ Coh($\varphi , \psi$ )$\rightarrow G'$ sao cho $\theta_1\circ \alpha =\theta$ và $\theta_1(h(a)) =e_{\theta(\varphi(a))}$ với mọi đỉnh $a$ của H. Theo prop. 7 của II, p. 176, tính chất sau này suy ra sự tồn tại của một cấu xạ groupoid duy nhất $\overline{\theta}:$ Coeg($\varphi , \psi$ )$\rightarrow G'$ sao cho $\overline{\theta}\circ \beta =\theta_1$. Khi đó ta có $\overline{\theta}\circ \gamma =\theta_1\circ \alpha =\theta$.

Ngược lại, nếu $\overline{\theta}':$ Coeg($\varphi , \psi$ )$\rightarrow G'$ là một cấu xạ groupoid sao cho $\overline{\theta}'\circ \gamma =\theta$, thì ta có $(\overline{\theta}'\circ \beta )\circ \alpha = (\overline{\theta}\circ \beta )\circ \alpha$, do đó $\overline{\theta}'\circ \beta =\overline{\theta}\circ \beta$ theo II, p. 185, prop. 3, do đó $\overline{\theta}'=\overline{\theta}$ theo prop. 7 của II, p. 176. Điều này chứng minh tính duy nhất của $\overline{\theta}$, vì thế mệnh đề b).

Gọi C là subgroupoid của Coeg($\varphi , \psi$ ) được sinh bởi ảnh của G; gọi $i$ là cấu xạ chính tắc từ C vào Coeg($\varphi , \psi$ ) và $\theta : G\rightarrow C$ là cấu xạ sao cho $i\circ \theta =\gamma$. Theo mệnh đề 2, tồn tại một cấu xạ groupoid duy nhất $\overline{\theta}:$ Coeg($\varphi , \psi$ )$\rightarrow C$ sao cho $\overline{\theta}\circ \gamma =\theta$. Khi đó $\gamma =i\circ \overline{\theta}\circ \gamma$, do đó $i\circ \overline{\theta}$ là cấu xạ đồng nhất của Coeg($\varphi , \psi$ ) (loc. cit.). Đặc biệt, các ánh xạ Som($i$) và Fl($i$) là toàn ánh, vì vậy C = Coeg($\varphi , \psi$ ).

Cho $A_1$ là một tập hợp các đỉnh của Ker($\varphi , \psi$ ) cắt mỗi thành phần liên thông của nó và cho $Z_1$ là tập hợp các phần tử của $\Omega (\widetilde{\Gamma})$ có dạng $((a,1))$, trong đó $a\in A_1$. Cũng vậy, cho $A_2$ là một tập hợp các đỉnh của $H\times_GH$ cắt mỗi thành phần liên thông của $H\times_GH$ và cho $Z_2$ là tập hợp các bộ ba có dạng $((a,1),(b,1),(\mu(a, b),-1))$, khi $(a, b)$ chạy qua $A_2$.

Khi đó $\Omega (\widetilde{\Gamma})$ là tập con phân biệt nhỏ nhất của $\Omega (\widetilde{\Gamma})$ chứa $Z_1\cup Z_2$. Đặc biệt, các lớp liên hợp $c(\mathbf{z})$ trong Coh($\varphi , \psi$ )$_{a_0}$, trong đó $\mathbf{z}$ chạy qua $Z_1\cup Z_2$, sinh hạt nhân của đồng cấu chính tắc $\beta_a$ từ Coh($\varphi , \psi$ )$_{a_0}$ vào Coeg($\varphi , \psi$ )$_{\beta(a_0)}$.

Ký hiệu $Z'_1,Z'_2$ và $Z'$ lần lượt là các tập con phân biệt nhỏ nhất của $\Omega (\widetilde{\Gamma})$ chứa $Z_1,Z_2$ và $Z_1\cup Z_2($II, p. 197, định nghĩa 1). Cần chứng minh rằng $Z'$ bằng $\Omega (\widetilde{\Gamma})$; theo II, p. 199, Hệ quả 1 của Mệnh đề 1 ở II, p. 197, khẳng định cuối cùng của mệnh đề sẽ suy ra.

b) Với mọi đỉnh $(a, b)$ của $H\times_GH$, $((a,1),(b,1),(\mu(a, b),-1))$ thuộc $Z'_2$.

a) Gọi $A'_1$ là tập hợp các đỉnh $a$ của Ker($\varphi , \psi$ ) sao cho $((a,1))$ thuộc $Z'_1$. Theo định nghĩa của $Z'_1$, ta có $A_1\subset A'_1$. Gọi $f$ là một mũi tên của Ker($\varphi , \psi$ ), gọi $a$ là gốc của nó và $b$ là đích của nó. Từ tính chất (iv) trong định nghĩa của một tập con phân biệt (II, p. 197, định nghĩa 1) áp dụng cho dãy $((f,1))$ suy ra rằng $a\in A'_1$ tương đương với $b\in A'_1$. Vì $A_1$ cắt mọi thành phần liên thông của Ker($\varphi , \psi$ ), ta có $A'_1=$ Som(Ker($\varphi , \psi$ )), điều phải chứng minh.

b) Gọi $A'_2$ là tập hợp các đỉnh $(a, b)$ của $H\times_GH$ sao cho bộ ba $((a,1),(b,1),(\mu(a, b),-1))$ thuộc $Z'_2$. Theo giả thiết, ta có $A_2\subset A'_2$. Vì $A_2$ cắt mỗi thành phần liên thông của $H\times_GH$, chỉ cần thiết lập rằng, nếu tồn tại một mũi tên $(f, f')$ nối một đỉnh $(a', b')$ với một đỉnh $(a, b)$, thì $(a, b)$ thuộc $A'_2$ khi và chỉ khi tương tự đối với $(a', b')$.

Đặt $f''=\mu(f, f')$; đây là một mũi tên nối $\mu(a', b')$ với $\mu(a, b)$, và ta có $\varphi (f'') =\varphi (f)$ và $\psi (f'') =\psi (f')$. Theo điều kiện (iv) trong định nghĩa của một tập con phân biệt của $\Omega (\widetilde{\Gamma})$ (nơi đã dẫn) áp dụng cho dãy $((f,1),(f',1),(f'',-1))$, hai điều kiện

(i) bộ ba $((a,1),(b,1),(\mu(a, b),-1))$ thuộc $Z'$;

(ii) bộ ba $((a',1),(b',1),(\mu(a', b'),-1))$ thuộc $Z'$;

là tương đương. Điều này cho thấy $(a, b)$ thuộc $A'_2$ khi và chỉ khi $(a', b')$ thuộc $A'_2$ và hoàn tất chứng minh của bổ đề.

Bây giờ ta hãy chứng minh bằng quy nạp theo số nguyên $n\geqslant 1$ rằng mọi phần tử $((a_1, \varepsilon_1),(a_2, \varepsilon_2), . . . ,(a_n, \varepsilon_n))$ của $\Omega (\widetilde{\Gamma})$ đều thuộc $Z'$.

A) Trường hợp trong đó $n= 1$.

Cho $((a, \varepsilon ))$ là một phần tử của $\Omega (\widetilde{\Gamma})$ có độ dài 1. Ta có $\varphi (a) =\psi (a)$, do đó $((a,1))\in Z'$ theo bổ đề 1. Điều kiện (ii) trong định nghĩa của một tập con phân biệt khi đó suy ra rằng $((a,-1))$ thuộc $Z'$.

B) Trường hợp trong đó $n\geqslant 2$.

Do điều kiện (ii) đối với một tập con phân biệt, chỉ cần xét trường hợp $\varepsilon_2= 1$. Giả sử $\varepsilon_1= 1$; khi đó $(a_1, a_2)$ là một đỉnh của $H\times_GH$; đặt $a=\mu(a_1, a_2)$; theo bổ đề 1, bộ ba $((a_1,1),(a_2,1),(a,-1))$ do đó thuộc $Z'$. Trong trường hợp $\varepsilon_1=-1$, ta có $\varphi (a_1) =\varphi (a_2)$; do đó ta có thể chọn một đỉnh $a$ của H sao cho $\mu(a_2, a) =a_1$ và bộ ba $((a_2,1),(a,1),(a_1,-1))$ thuộc $Z'$, nên bộ ba $((a_1,-1),(a_2,1),(a,1))$ cũng vậy, do điều kiện (ii) trong định nghĩa của một tập con phân biệt.

Khi đó $((a, \varepsilon_1),(a_3, \varepsilon_3), . . . ,(a_n, \varepsilon_n))$ thuộc $\Omega (\widetilde{\Gamma})$ và có độ dài $n-1$. Theo giả thiết quy nạp, nó là một phần tử của $Z'$. Do các điều kiện (i), (ii) và (iii) trong định nghĩa của một tập con phân biệt, ta suy ra liên tiếp rằng các phần tử

đều thuộc $Z'$. Điều này hoàn tất chứng minh của mệnh đề.

b) Giả sử thêm nữa rằng với mọi mũi tên $(f, f')$ của $H\times_GH$, tồn tại một mũi tên $f''$ của H sao cho $\varphi (f'') =\varphi (f)$ và $\psi (f'') =\psi (f')$.

Cho A là một tập hợp các đỉnh của $H\times_GH$ gặp mỗi thành phần liên thông của nó. Khi đó, hạt nhân của cấu xạ $\beta_{a_0}$ là nhóm con phân biệt nhỏ nhất của Coh($\varphi , \psi$ )$_{a_0}$ chứa các lớp liên hợp $c((a,1),(b,1),(c_{a,b},-1))$, với $(a, b)\in A$.

Cho R là quan hệ tương đương trong Som(G) mà đồ thị của nó là ảnh của ánh xạ (Som($\varphi$ ), Som($\psi$ )). Cho $(a, b)$ là một đỉnh của $H\times_GH$. Khi đó ta có $R\{\varphi (a), \psi (a)\}$ và $R\{\varphi (b), \psi (b)\}$, do đó $R\{\varphi (a), \psi (b)\}$ vì $\psi (a) =\varphi (b)$. Do đó, tồn tại một đỉnh duy nhất $c$ của H sao cho $\varphi (c) =\varphi (a)$ và $\psi (c) =\psi (b)$; ta ký hiệu nó là $\mu(a, b)$.

Với mọi mũi tên $(f, f')$ của $H\times_GH$, chọn một mũi tên $f''$ của H sao cho $\varphi (f'') =\varphi (f)$ và $\psi (f'') =\psi (f)$ và ký hiệu nó là $\mu(f, f')$.

Như vậy đã xác định được một cấu xạ quiver $\mu: H\times_GH\rightarrow H$ sao cho $\varphi \circ \mu=\varphi \circ$ pr$_1$ và $\psi \circ \mu=\psi \circ$ pr$_2$.

Cho $(a, b)$ là một cặp đỉnh của H sao cho $\varphi (a) =\varphi (b)$. Ta có $R\{\varphi (a), \psi (a)\}$ và $R\{\varphi (b), \psi (b)\}$, do đó $R\{\psi (b), \psi (a)\}$. Do đó tồn tại một đỉnh duy nhất $c$ của H sao cho $\varphi (c) =\psi (b)$ và $\psi (c) =\psi (a)$. Đỉnh $\mu(b, c)$ thỏa $\varphi (\mu(b, c)) =\varphi (b) =\varphi (a)$ và $\psi (\mu(b, c)) =$ $\psi (c) =\psi (a)$. Vậy $\mu(b, c) =a$ vì ánh xạ (Som($\varphi$ ), Som($\psi$ )) từ Som(H) vào Som(G) $\times$ Som(G) là đơn ánh.

Cho $A_1$ là tập hợp các đỉnh của Ker($\varphi , \psi$ ) và cho $Z_1$ là tập hợp các phần tử của $\Omega (\widetilde{\Gamma})$ có dạng $((a,1))$, với $a\in A_1$. Đặt $A_2= A$ và cho $Z_2$ là tập hợp các phần tử $((a,1),(b,1),(\mu(a, b),-1))$ của $\Omega (\widetilde{\Gamma})$, với $(a, b)\in A_2$. Gọi $\widetilde{Z}$ (tương ứng $\widetilde{Z}_1$, tương ứng $\widetilde{Z}_2$) là tập con phân biệt nhỏ nhất của $\Omega (\widetilde{\Gamma})$ chứa $Z_1\cup Z_2$ (tương ứng $Z_1$, tương ứng $Z_2$).

Cho $a\in A_1$; ta có $\varphi (a) =\psi (a)$ ; đặt $x=\varphi (a)$. Đỉnh $a$ là đỉnh duy nhất của H sao cho $\varphi (a) =\psi (a) =x$; đặc biệt, ta có $\mu(a, a) =a$. Do đó bộ ba $((a,1),(a,1),(a,-1))$ thuộc $Z_2$. Khi ấy từ các điều kiện (i) và (iii) trong định nghĩa của một tập con phân biệt suy ra rằng $((a,1))$ thuộc $\widetilde{Z}_2$. Do đó, ta có $Z_1\subset \widetilde{Z}_2$, do đó $\widetilde{Z} =\widetilde{Z}_2$.

Theo Mệnh đề 4, $\Omega (\widetilde{\Gamma})$ là tập con phân biệt nhỏ nhất của $\Omega (\widetilde{\Gamma})$ chứa $Z_2$ và hạt nhân của $\beta_{a_0}$ là nhóm con phân biệt nhỏ nhất của Coh($\varphi , \psi$ )$_{a_0}$ chứa các lớp liên hợp $c(\mathbf{z})$, với $\mathbf{z}\in Z_2$, do đó có hệ quả.