Exercice 12, § 3

Soit G un groupe, soit S l’ensemble des sous-groupes de G et soit F l’ensemble des sous-ensembles X de G tels qu’il existe un sous-groupe H de G et un élément $g$ de G tel que $X =gH$.

a) Soit $\mu$ l’application de $G\times G\times G$ dans G définie par $\mu(x, y, z) =xy^{-1}z$. Démontrer qu’un sous-ensemble non vide X de G appartient à l’ensemble F si et seulement si $\mu(X\times X\times X)\subset X$.

b) Montrer qu’en posant $o(X) =g^{-1}X$ et $t(X) = Xg^{-1}$, pour un élément $g$ de X quelconque, on définit des applications $o: F\rightarrow S$ et $t: F\rightarrow S$.

c) Si $X_1$ et $X_2$ sont des éléments de S tels que $t(X_1) =o(X_2)$, on pose $m(X_1,X_2) = X_1X_2$. Démontrer que l’application $m$ est une loi de composition dans le carquois $(S,F, o, t)$ qui en fait un groupoïde (« groupoïde de Baer »). On le note Ba(G).

d) Démontrer que les orbites de Ba(G) sont les classes de conjugaison de sous-groupes de G.

e) Démontrer que le groupe d’isotropie de Ba(G) en un élément H de S est isomorphe au groupe quotient $N(H)/H$.