Bài tập 4, § 3

Người ta định nghĩa khối lượng $\mu(G)$ của một groupoid G là cận trên của các tổng $\sum_{a\in A}$ Card(G$_a$)$^{-1}$, trong đó A chạy qua tập hợp các tập con của Som(G) gặp mỗi quỹ đạo của G tại nhiều nhất một điểm. Người ta nói rằng G có khối lượng hữu hạn nếu có $\mu(G)\in \mathbf{R}$; người ta nói rằng G là hữu hạn một cách bản chất nếu tập hợp các quỹ đạo của nó là hữu hạn và nếu nhóm đẳng hướng tại mỗi điểm của nó là hữu hạn.

a) Bài tập chứng minh rằng một groupoid hữu hạn một cách bản chất có khối lượng hữu hạn.

b) Cho G là groupoid liên kết với một nhóm hữu hạn Γ. Nó hữu hạn một cách bản chất và có $\mu(G) = 1/$ Card(Γ).

c) Cho Γ là một nhóm hữu hạn, cho X là một tập hợp hữu hạn được trang bị một phép toán phải của Γ và cho G là groupoid liên kết. Nó hữu hạn một cách bản chất và có $\mu(G) =$ Card(X)$/$ Card(Γ).

d) Cho $(G_i)_{i\in I}$ là một họ các groupoid có khối lượng hữu hạn. Groupoid tổng và groupoid tích của họ $(G_i)$ lần lượt có khối lượng $\sum\mu(G_i)$ và $\prod\mu(G_i)$.

e) Cho X là một tập hợp. Người ta định nghĩa một groupoid G có tập hợp các đỉnh là tập hợp các tập con hữu hạn của X và sao cho, với mọi cặp $(Y_1,Y_2)$ gồm các tập con hữu hạn của X, tập hợp các mũi tên có gốc $Y_1$ và số hạng $Y_2$ là tập hợp các song ánh từ $Y_1$ lên $Y_2$, hợp thành của các mũi tên được cho bởi hợp thành của các ánh xạ. Bây giờ chứng minh rằng G là hữu hạn một cách bản chất và tính khối lượng của nó.