Exercice 4, § 3

On définit la masse $\mu(G)$ d’un groupoïde G comme la borne supérieure des sommes $\sum_{a\in A}$ Card(G$_a$)$^{-1}$, où A parcourt l’ensemble des parties de Som(G) qui rencontrent chaque orbite de G en au plus un point. On dit que G est de masse finie si l’on a $\mu(G)\in \mathbf{R}$; on dit que G est essentiellement fini si l’ensemble de ses orbites est fini et si le groupe d’isotropie en chacun de ses points est fini.

a) Démontrer qu’un groupoïde essentiellement fini est de masse finie.

b) Soit G le groupoïde associé à un groupe fini Γ. Il est essentiellement fini et l’on a $\mu(G) = 1/$ Card(Γ).

c) Soit Γ un groupe fini, soit X un ensemble fini muni d’une opération à droite de Γ et soit G le groupoïde associé. Il est essentiellement fini et l’on a $\mu(G) =$ Card(X)$/$ Card(Γ).

d) Soient $(G_i)_{i\in I}$ une famille de groupoïdes de masse finie. Le groupoïde somme et le groupoïde produit de la famille $(G_i)$ ont pour masse $\sum\mu(G_i)$ et $\prod\mu(G_i)$ respectivement.

e) Soit X un ensemble. On définit un groupoïde G dont l’ensemble des sommets est l’ensemble des sous-ensembles finis de X et tel que, pour tout couple $(Y_1,Y_2)$ de parties finies de X, l’ensemble des flèches d’origine $Y_1$ et de terme $Y_2$ soit l’ensemble des bijections de $Y_1$ dans $Y_2$, la composition des flèches étant donnée par la composition des applications. Montrer que G est essentiellement fini et calculer sa masse.