Bài tập 6, § 3

Cho $G$ và $G'$ là các đồ thị và cho $\varphi : G'\rightarrow G$. Ta nói rằng $(G', \varphi )$ là một phủ của G nếu, với mọi đỉnh $a\in$ Som(G$'$) và mọi cung $f\in$ Fl(G) có gốc Som($\varphi$ )$(a)$, tồn tại một cung duy nhất $f'\in$ Fl(G$'$) có gốc $a$ sao cho Fl($\varphi$ )$(f') =f$.

Giả sử rằng $(G', \varphi )$ là một phủ của G.

a) Chứng minh rằng tồn tại một phép toán duy nhất của Grp(G) trên Som(G$'$), tương đối với ánh xạ Som($\varphi$ ), sao cho $x\cdot$ Fl($\varphi$ )$(f) =t(f)$, với mọi đỉnh $x\in$ Som(G$'$) và mọi cung $f\in$ Fl(G$'$) có gốc $x$.

b) Suy ra rằng nếu $x$ và $y$ là các đỉnh của G thuộc cùng một thành phần liên thông của G thì ta có Card(Som($\varphi$ )$^{-1}(x)$) $=$ Card(Som($\varphi$ )$^{-1}(y)$).