Exercice 6, § 3

Soient G et $G'$ des graphes et soit $\varphi : G'\rightarrow G$. On dit que $(G', \varphi )$ est un revêtement de G si, pour tout sommet $a\in$ Som(G$'$) et toute flèche $f\in$ Fl(G) d’origine Som($\varphi$ )$(a)$, il existe une unique flèche $f'\in$ Fl(G$'$) d’origine $a$ telle que Fl($\varphi$ )$(f') =f$.

On suppose que $(G', \varphi )$ est un revêtement de G.

a) Démontrer qu’il existe une unique opération de Grp(G) dans Som(G$'$), relativement à l’application Som($\varphi$ ), telle que $x\cdot$ Fl($\varphi$ )$(f) =t(f)$, pour tout sommet $x\in$ Som(G$'$) et toute flèche $f\in$ Fl(G$'$) d’origine $x$.

b) En déduire que si $x$ et $y$ sont des sommets de G appartenant à une même composante connexe de G, on a Card(Som($\varphi$ )$^{-1}(x)$) $=$ Card(Som($\varphi$ )$^{-1}(y)$).