Bài tập 7, § 3

Cho G là một đồ thị và $(G_1, \varphi_1)$, $(G_2, \varphi_2)$ là các phủ của đồ thị G.

a) Cho $\psi : G_1\rightarrow G_2$ là một cấu xạ của các đồ thị sao cho $\varphi_2\circ \psi =\varphi_1$. Chứng minh rằng ta có $\psi (x\cdot \gamma ) =\psi (x)\cdot \gamma$ với mọi $x\in$ Som(G$_1$) và mọi mũi tên $\gamma$ của $\varpi_G$ có gốc $\varphi_1(x)$.

b) Cho $u:$ Som(G$_1$)$\rightarrow$ Som(G$_2$) là một ánh xạ sao cho $u(x\cdot \gamma ) =u(x)\cdot \gamma$ với mọi $x\in$ Som(G$_1$) và mọi mũi tên $\gamma$ của $\varpi_G$ có gốc $\varphi_1(x)$. Chứng minh rằng tồn tại một cấu xạ duy nhất của các đồ thị $\psi : G_1\rightarrow G_2$ sao cho $\varphi_2\circ \psi =\varphi_1$ và Som($\psi$ ) $=u$.

c) Cho X là một tập hợp và cho $p: X\rightarrow$ Som(G) là một ánh xạ. Giả sử rằng một phép toán của $\varpi_G$ trong tập hợp X đối với ánh xạ $p$ đã được cho. Chứng minh rằng tồn tại một đồ thị $G'$ với tập hợp các đỉnh là X và một cấu xạ của các đồ thị $\varphi : G'\rightarrow G$ sao cho Som($\varphi$ ) $=p$, sao cho $(G', \varphi )$ là một phủ của G và phép toán của $\varpi_G$ trong Som(G$'$) trùng với phép toán đã cho.