Exercice 7, § 3

Soit G un graphe et soient $(G_1, \varphi_1)$, $(G_2, \varphi_2)$ des revêtements du graphe G.

a) Soit $\psi : G_1\rightarrow G_2$ un morphisme de graphes tel que $\varphi_2\circ \psi =\varphi_1$. Démontrer que l’on a $\psi (x\cdot \gamma ) =\psi (x)\cdot \gamma$ pour tout $x\in$ Som(G$_1$) et toute flèche $\gamma$ de $\varpi_G$ d’origine $\varphi_1(x)$.

b) Soit $u:$ Som(G$_1$)$\rightarrow$ Som(G$_2$) une application telle que $u(x\cdot \gamma ) =u(x)\cdot \gamma$ pour tout $x\in$ Som(G$_1$) et toute flèche $\gamma$ de $\varpi_G$ d’origine $\varphi_1(x)$. Démontrer qu’il existe un unique morphisme de graphes $\psi : G_1\rightarrow G_2$ tel que $\varphi_2\circ \psi =\varphi_1$ et Som($\psi$ ) $=u$.

c) Soit X un ensemble et soit $p: X\rightarrow$ Som(G) une application. Supposons donnée une opération de $\varpi_G$ dans l’ensemble X relativement à l’application $p$. Démontrer qu’il existe un graphe $G'$ d’ensemble de sommets X et un morphisme de graphes $\varphi : G'\rightarrow G$ tel que Som($\varphi$ ) $=p$, de sorte que $(G', \varphi )$ soit un revêtement de G et que l’opération de $\varpi_G$ dans Som(G$'$) coïncide avec l’opération donnée.