Bài tập 8, § 3

Cho $G$ là một đồ thị liên thông và cho $a$ là một đỉnh của G.

(a) Cho $(G_1, \varphi_1)$ và $(G_2, \varphi_2)$ là các phủ của đồ thị G. Cho $u:$ Som(G$_1$)$\rightarrow$ Som(G$_2$) là một ánh xạ sao cho $u(x)\cdot \gamma$ = $u(x\cdot \gamma )$ với mọi $\gamma \in \varpi_{G,a}$ và mọi đỉnh $x$ của $G_1$ sao cho Som($\varphi_1$)$(x) =a$. Chứng minh rằng tồn tại một cấu xạ duy nhất của các đồ thị $\psi : G_1\rightarrow G_2$ sao cho $\psi =$ Som($u$).

(b) Cho X là một tập hợp được trang bị một phép toán của nhóm $\varpi_{G,a}$. Chứng minh rằng tồn tại một phủ $(G', \varphi )$ của đồ thị G sao cho Som($\varphi$ )$^{-1}(a) = X$ và sao cho phép toán của $\varpi_G$ trong Som(G$'$) gây ra phép toán đã cho của $\varpi_{G,a}$ trong X.