Exercice 8, § 3

Soit G un graphe connexe et soit $a$ un sommet de G.

a) Soient $(G_1, \varphi_1)$ et $(G_2, \varphi_2)$ des revêtements du graphe G. Soit $u:$ Som(G$_1$)$\rightarrow$ Som(G$_2$) une application telle que $u(x)\cdot \gamma$ = $u(x\cdot \gamma )$ pour tout $\gamma \in \varpi_{G,a}$ et tout sommet $x$ de $G_1$ tel que Som($\varphi_1$)$(x) =a$. Démontrer qu’il existe un unique morphisme de graphes $\psi : G_1\rightarrow G_2$ tel que $\psi =$ Som($u$).

b) Soit X un ensemble muni d’une opération du groupe $\varpi_{G,a}$. Démontrer qu’il existe un revêtement $(G', \varphi )$ du graphe G tel que Som($\varphi$ )$^{-1}(a) = X$ et tel que l’opération de $\varpi_G$ dans Som(G$'$) induise l’opération donnée de $\varpi_{G,a}$ dans X.