Bài tập 9, § 3

Cho $G$ và $G'$ là các đồ thị và cho $\varphi : G'\rightarrow G$ là một cấu xạ đồ thị sao cho $(G', \varphi )$ là một phủ của G.

a) Chứng minh rằng đồ thị $\varphi$(Grp(G$'$)) là một nhómoid con của nhómoid Grp(G).

b) Chứng minh rằng, với mọi đỉnh $a$ của $G'$, đồng cấu nhóm $\pi_1(\varphi , a)$ là đơn ánh.

c) Giả sử rằng G là liên thông và cố định một đỉnh $a$ của G. Cho K là một nhóm con của $\varpi_{G,a}$. Chứng minh rằng tồn tại một phủ $(H, \psi )$ của đồ thị G và một đỉnh $b$ của H sao cho $\psi (b) =a$ và K là ảnh của cấu xạ $\pi_1(\psi , a)$.

d) Chứng minh rằng một nhóm con của một nhóm tự do là tự do (xem thêm IV, p. 417, ví dụ 2).

e) Cho $n$ và $q$ là các số nguyên; nếu F là một nhóm tự do trên $n$ phần tử sinh và K là một nhóm con của F có chỉ số $q$, chứng minh rằng K là một nhóm tự do trên $1+q(n-1)$ phần tử sinh.