Exercice 9, § 3

Soient G et $G'$ des graphes et soit $\varphi : G'\rightarrow G$ un morphisme de graphes tel que $(G', \varphi )$ est un revêtement de G.

a) Démontrer que le graphe $\varphi$(Grp(G$'$)) est un sous-groupoïde du groupoïde Grp(G).

b) Démontrer que, pour tout sommet $a$ de $G'$, l’homomorphisme de groupes $\pi_1(\varphi , a)$ est injectif.

c) On suppose que G est connexe et on fixe un sommet $a$ de G. Soit K un sous-groupe de $\varpi_{G,a}$. Démontrer qu’il existe un revêtement $(H, \psi )$ du graphe G et un sommet $b$ de H tel que $\psi (b) =a$ et K soit l’image du morphisme $\pi_1(\psi , a)$.

d) Démontrer qu’un sous-groupe d’un groupe libre est libre (voir aussi IV, p. 417, exemple 2).

e) Soient $n$ et $q$ des entiers ; si F est un groupe libre à $n$ générateurs et K un sous-groupe de F d’indice $q$, démontrer que K est un groupe libre à $1+q(n-1)$ générateurs.