Bài tập 1, § 5

Cho G là một groupoid, X là một tập hợp và $f$ là một ánh xạ từ Som(G) vào X.

a) Chứng minh rằng tồn tại một cặp $(K, \alpha )$, trong đó K là một groupoid với tập hợp các đỉnh là X và $\alpha : G\rightarrow K$ là một cấu xạ của các groupoid sao cho Som($\alpha$ ) $=f$, thỏa mãn tính chất phổ quát sau: với mọi groupoid H có tập hợp các đỉnh là X và mọi cấu xạ $\varphi : G\rightarrow H$ sao cho Som($\varphi$ ) $=f$, tồn tại một cấu xạ duy nhất của các groupoid $\psi : K\rightarrow H$ sao cho $\alpha \circ \psi =\varphi$. (Nếu S là một tập hợp, ta ký hiệu bởi $S_d$ một groupoid có tập hợp các đỉnh là S mà các quỹ đạo và các nhóm đẳng hướng của nó đều thu gọn về một phần tử. Gọi $G'$ là groupoid tổng rời nhau của họ $(G,X_d)$, gọi $\varphi$ và $\psi$ là các cấu xạ của groupoid Som(G)$_d$ vào $G'$ sao cho Som($\varphi$ ) là đơn ánh chính tắc của Som(G) vào Som(G$'$) và Som($\psi$ ) $=f$ tương ứng. Đặt K = Coeg($\varphi , \psi$ ).)

b) Suy ra một song ánh từ Hom(G$, f^*H$) lên Hom(K$,H$), với mọi groupoid H có tập hợp các đỉnh là X.