Exercice 1, § 5

Soient G un groupoïde, X un ensemble et $f$ une application de Som(G) dans X.

a) Démontrer qu’il existe un couple $(K, \alpha )$, où K est un groupoïde d’ensemble de sommets X et $\alpha : G\rightarrow K$ est un morphisme de groupoïdes tel que Som($\alpha$ ) $=f$, vérifiant la propriété universelle suivante : pour tout groupoïde H d’ensemble de sommets X et tout morphisme $\varphi : G\rightarrow H$ tel que Som($\varphi$ ) $=f$, il existe un unique morphisme de groupoïdes $\psi : K\rightarrow H$ tel que $\alpha \circ \psi =\varphi$. (Si S est un ensemble, on note $S_d$ un groupoïde d’ensemble de sommets S dont les orbites et les groupes d’isotropie sont réduits à un élément. Soit $G'$ le groupoïde somme disjointe de la famille $(G,X_d)$, soient $\varphi$ et $\psi$ les morphismes du groupoïde Som(G)$_d$ dans $G'$ tels que Som($\varphi$ ) soit l’injection canonique de Som(G) dans Som(G$'$) et Som($\psi$ ) $=f$ respectivement. Poser K = Coeg($\varphi , \psi$ ).)

b) En déduire une bijection de Hom(G$, f^*H$) sur Hom(K$,H$), pour tout groupoïde H d’ensemble de sommets X.