Bài tập 2, § 5

Cho H và G là các nhóm, cho $\mathscr{H}$ và $\mathscr{G}$ là các nhómoid liên kết với chúng; cho $\varphi$ và $\psi$ là các cấu xạ của nhómoid từ $\mathscr{H}$ vào $\mathscr{G}$.

(a) Chứng minh rằng tập hợp các đỉnh của đồng điều đồng cấu đồng luân (tương ứng, của đồng điều đồng cấu) của cặp $(\varphi , \psi )$ được thu gọn về một phần tử; ký hiệu K (tương ứng, L) là nhóm đẳng hướng của nó tại điểm này.

(b) Chứng minh rằng nhóm K là thương của tích tự do $G*\mathbf{Z}$ bởi nhóm con chuẩn nhỏ nhất của $G*\mathbf{Z}$ chứa các phần tử $\varphi (g)t\psi (g)^{-1}t^{-1}$, với $g\in G$, trong đó $t$ ký hiệu phần tử 1 của $\mathbf{Z}$.

(c) Chứng minh rằng nhóm L là thương của nhóm G bởi nhóm con chuẩn nhỏ nhất chứa các phần tử $\varphi (g)\psi (g)^{-1}$, với $g\in G$.