Exercice 2, § 5

Soient H et G des groupes, soient $\mathscr{H}$ et $\mathscr{G}$ les groupoïdes qui leur sont associés ; soient $\varphi$ et $\psi$ des morphismes de groupoïdes de $\mathscr{H}$ dans $\mathscr{G}$.

a) Démontrer que l’ensemble des sommets du cohomotopeur (resp. du coégalisateur) du couple $(\varphi , \psi )$ est réduit à un élément ; on note K (resp. L) son groupe d’isotropie en ce point.

b) Démontrer que le groupe K est le quotient du produit libre $G*\mathbf{Z}$ par le plus petit sous-groupe distingué de $G*\mathbf{Z}$ qui contient les éléments $\varphi (g)t\psi (g)^{-1}t^{-1}$, pour $g\in G$, où $t$ désigne l’élément 1 de $\mathbf{Z}$.

c) Démontrer que le groupe L est le quotient du groupe G par le plus petit sous-groupe distingué contenant les éléments $\varphi (g)\psi (g)^{-1}$, pour $g\in G$.