Bài tập 3, § 5

Cho I là một tập hợp tiền thứ tự và cho $(G_i)_{i\in I}$ là một họ các groupoid. Với mọi cặp $(i, j)$ phần tử của I sao cho $i\leqslant j$, cho $\varphi_{ji}$ là một cấu xạ các groupoid từ $G_i$ vào $G_j$. Giả sử rằng các $\varphi_{ji}$ thỏa mãn các điều kiện sau (x. E, III, p. 61) :

(i) Các hệ thức $i\leqslant j\leqslant k$ kéo theo $\varphi_{ki}=\varphi_{kj}\circ \varphi_{ji}$;

(ii) Với mọi $i\in I,f_{ii}$ là cấu xạ đồng nhất của $G_i$.

Cho G là groupoid tổng của họ $(G_i)$, cho H là groupoid tổng của họ $(H_{ji})_{i\leqslant j}$, trong đó đặt $H_{ji}= G_i$ với mọi cặp $(i, j)$. Cho $\varphi$ (resp. $\psi$ ) là cấu xạ từ H vào G cảm sinh bởi họ $(\varphi_{ji})_{i\leqslant j}$ (resp. (Id$_{G_i}$)$_{i\leqslant j}$) và cho C là đối cân bằng của cặp $(\varphi , \psi )$. Với $i\in I$, cho $\varphi_i$ là cấu xạ từ $G_i$ vào C, hợp thành của cấu xạ chính tắc từ $G_i$ vào G và cấu xạ chính tắc từ G vào C.

a) Chứng minh rằng ta có $\varphi_j\circ \varphi_{ji}=\varphi_i$ với mọi cặp $(i, j)$ sao cho $i\leqslant j$. b) Chứng minh rằng, với mọi groupoid D và mọi họ $(g_i)$, trong đó $g_i$ là một cấu xạ từ $G_i$ vào D sao cho $g_j\circ \varphi_{ji}=g_i$ với mọi cặp $(i, j)$ sao cho $i\leqslant j$, tồn tại một cấu xạ duy nhất các groupoid $g: C\rightarrow D$ sao cho $g\circ \varphi_i=g_i$ với mọi $i\in I$.