Exercice 3, § 5

Soit I un ensemble préordonné et soit $(G_i)_{i\in I}$ une famille de groupoïdes. Pour tout couple $(i, j)$ d’éléments de I tels que $i\leqslant j$, soit $\varphi_{ji}$ un morphisme de groupoïdes de $G_i$ dans $G_j$. On suppose que les $\varphi_{ji}$ vérifient les conditions suivantes (cf. E, III, p. 61) :

(i) Les relations $i\leqslant j\leqslant k$ entraînent $\varphi_{ki}=\varphi_{kj}\circ \varphi_{ji}$;

(ii) Pour tout $i\in I,f_{ii}$ est le morphisme identique de $G_i$.

Soit G le groupoïde somme de la famille $(G_i)$, soit H le groupoïde somme de la famille $(H_{ji})_{i\leqslant j}$, où l’on a posé $H_{ji}= G_i$ pour tout couple $(i, j)$. Soit $\varphi$ (resp. $\psi$ ) le morphisme de H dans G induit par la famille $(\varphi_{ji})_{i\leqslant j}$ (resp. (Id$_{G_i}$)$_{i\leqslant j}$) et soit C le coégalisateur du couple $(\varphi , \psi )$. Pour $i\in I$, soit $\varphi_i$ le morphisme de $G_i$ dans C, composé du morphisme canonique de $G_i$ dans G et du morphisme canonique de G dans C.

a) Démontrer que l’on a $\varphi_j\circ \varphi_{ji}=\varphi_i$ pour tout couple $(i, j)$ tel que $i\leqslant j$. b) Démontrer que, pour tout groupoïde D et toute famille $(g_i)$, où $g_i$ est un morphisme de $G_i$ dans D tel que $g_j\circ \varphi_{ji}=g_i$ pour tout couple $(i, j)$ tel que $i\leqslant j$, il existe un unique morphisme de groupoïdes $g: C\rightarrow D$ tel que $g\circ \varphi_i=g_i$ pour tout $i\in I$.