Bài tập 12, § 1

Cho $X$ và $Y$ là các không gian tôpô; ta nói rằng tính chất mở rộng đồng luân được thỏa mãn đối với các ánh xạ liên tục có đích $X$ và nguồn $Y$ nếu, với mọi ánh xạ liên tục $F: Y \rightarrow X$, mọi không gian con đóng $B$ của $Y$ và mọi đồng luân $\sigma : B\times \mathbf{I}\rightarrow X$ có gốc $F|B$, tồn tại một đồng luân $\widetilde{\sigma}: Y\times \mathbf{I}\rightarrow X$ có gốc $F$ mở rộng $\sigma$.

(a) Cho $X$ là một không gian tôpô là một co rút tuyệt đối của lân cận. Chứng minh rằng tính chất mở rộng đồng luân được thỏa mãn đối với các ánh xạ liên tục có đích $X$ và nguồn là một không gian mêtric kiểu đếm được.

(b) Chứng minh tính tương đương của hai tính chất sau:

(i) Không gian $X$ là một co rút tuyệt đối của lân cận;

(ii) Mọi điểm của $X$ đều sở hữu một lân cận V sao cho với mọi không gian tôpô mêtric kiểu đếm được $Y$, mọi không gian con đóng $B$ của $Y$, mọi ánh xạ liên tục từ $B$ vào V đều mở rộng được thành một ánh xạ liên tục từ $Y$ vào $X$.

(c) Giả sử rằng $X$ là co rút được nửa địa phương (xem Bài tập 9) và rằng tính chất mở rộng đồng luân được thỏa mãn đối với các ánh xạ liên tục có đích $X$. Chứng minh rằng $X$ là một co rút tuyệt đối của lân cận. [^1]

(d) Chứng minh rằng không gian $X =\mathbf{Q}$ không là một co rút tuyệt đối của lân cận nhưng tính chất mở rộng đồng luân được thỏa mãn đối với các ánh xạ liên tục có đích $X$.

[^1]: K. Borsuk đã xây dựng một không gian co rút được nửa địa phương không là một co rút tuyệt đối của lân cận, xem “Sur un espace localement contractile qui n’est pas un rétracte absolu de voisinage”, Fund. Math. 35, (1948), p. 175–180.