Exercice 12, § 1

Soient X et Y des espaces topologiques ; on dit que la propriété d’extension des homotopies vaut pour les applications continues de but X et de source Y si pour toute application continue $F: Y \rightarrow X$, tout sous-espace fermé B de Y et toute homotopie $\sigma : B\times \mathbf{I}\rightarrow X$ d’origine $F|B$, il existe une homotopie $\widetilde{\sigma}: Y\times \mathbf{I}\rightarrow X$ d’origine F qui prolonge $\sigma$.

a) Soit X un espace topologique qui est un rétracte absolu de voisinage. Démontrer que la propriété d’extension des homotopies vaut pour les applications continues de but X et de source un espace métrisable de type dénombrable.

b) Démontrer l’équivalence des deux propriétés suivantes :

(i) L’espace X est un rétracte absolu de voisinage ;

(ii) Tout point de X possède un voisinage V tel que pour tout espace topologique métrisable de type dénombrable Y, tout sous-espace fermé B de Y, toute application continue de B dans V s’étend en une application continue de Y dans X.

c) On suppose que X est semi-localement contractile (cf. exercice 9) et que la propriété d’extension des homotopies vaut pour les applications continues de but X. Démontrer que X est un rétracte absolu de voisinage. [^1]

d) Démontrer que l’espace $X =\mathbf{Q}$ n’est pas un rétracte absolu de voisinage mais que la propriété d’extension des homotopies vaut pour les applications continues de but X.

[^1]: K. Borsuk a construit un espace semi-localement contractile qui n’est pas un rétracte absolu de voisinage, voir « Sur un espace localement contractile qui n’est pas un rétracte absolu de voisinage », Fund. Math. 35, (1948), p. 175–180.