Bài tập 9, § 1

Nếu X và Y là các không gian tôpô và $\mathscr{U}$ là một tập hợp các tập con của X, người ta nói rằng các ánh xạ $f, g: Y\rightarrow X$ là $\mathscr{U}$ -gần nhau nếu với mọi điểm $y\in Y$, tồn tại $U\in \mathscr{U}$ sao cho $f(y)$ và $g(y)$ thuộc U; người ta nói rằng một đồng luân $\sigma : Y\times \mathbf{I}\rightarrow X$ là $\mathscr{U}$ -nhỏ nếu với mọi điểm $y\in Y$, tồn tại $U\in \mathscr{U}$ sao cho $\sigma (y, t)\in U$ với mọi $t\in \mathbf{I}$.

Cho X là một không gian con đóng của một tập con lồi Z của $\mathbf{I}^{\mathbf{N}}($xem bài tập 8) ; giả sử rằng X là một rút gọn lân cận tuyệt đối.

a) Cho $\mathscr{U}$ là một phủ của X bởi các tập con mở của $\mathbf{I}^{\mathbf{N}}$. Chứng minh rằng tồn tại một họ $\mathscr{V}$ gồm các tập con mở và lồi của $\mathbf{I}^{\mathbf{N}}$ sao cho, với mọi tập mở $v\in \mathscr{V}$, tồn tại một tập mở $u\in \mathscr{U}$ sao cho $v\cap X\subset u$, và một phép co rút liên tục $r$ của đơn ánh chính tắc của X vào hợp V của họ $\mathscr{V}$. b) Cho Y là một không gian tôpô và cho B là một không gian con đóng của Y. Cho $f, g: Y\rightarrow X$ là các ánh xạ liên tục $\mathscr{V}$ -gần nhau, cho $\sigma : B\times \mathbf{I}\rightarrow X$ là một đồng luân $\mathscr{V}$ -nhỏ có gốc bằng $f|_B$.

Chứng minh rằng tồn tại một lân cận W của B trong Y và một ánh xạ liên tục $h$ của không gian con $(Y\times \{0,1\})\cup (W\times \mathbf{I})$ của $Y\times \mathbf{I}$. vào X sao cho $h(y,0) =f(y)$ và $h(y,1) =g(y)$ với mọi $y\in Y$, và $h(y, t) =\sigma (y, t)$ với mọi $y\in B$ và mọi $t\in \mathbf{I}$. Chứng minh rằng tồn tại một lân cận $W'$ của B được chứa trong W sao cho $h|W'\times \mathbf{I}$ là một đồng luân $\mathscr{V}$ -nhỏ.

c) Cho $u: Y\rightarrow \mathbf{I}$ là một ánh xạ liên tục sao cho $u(y) = 1$ với $y\in B$ và $u(y) = 0$ trong một lân cận của Y-W ; đặt

$\{(1-u(y))((1-t)f(y) +tg(y)) +u(y)h(y, t)$ if $y\in V$

$(1-t)f(y) +tg(y)$ otherwise.

Chứng minh rằng $h'$ liên tục và ảnh của nó được chứa trong V.

d) Suy ra rằng tồn tại một đồng luân $\widetilde{\sigma}: Y\times \mathbf{I}\rightarrow X$ có gốc $f$, có số hạng $g$, và là $\mathscr{U}$ -nhỏ.