Exercice 9, § 1

Si X et Y sont des espaces topologiques et $\mathscr{U}$ un ensemble de parties de X, on dit que des applications $f, g: Y\rightarrow X$ sont $\mathscr{U}$ -proches si pour tout point $y\in Y$, il existe $U\in \mathscr{U}$ tel que $f(y)$ et $g(y)$ appartiennent à U ; on dit qu’une homotopie $\sigma : Y\times \mathbf{I}\rightarrow X$ est $\mathscr{U}$ -petite si pour tout point $y\in Y$, il existe $U\in \mathscr{U}$ tel que $\sigma (y, t)\in U$ pour tout $t\in \mathbf{I}$.

Soit X un sous-espace fermé d’une partie convexe Z de $\mathbf{I}^{\mathbf{N}}($cf. exercice 8) ; on suppose que X est un rétracte absolu de voisinage.

a) Soit $\mathscr{U}$ un recouvrement de X par des parties ouvertes de $\mathbf{I}^{\mathbf{N}}$. Démontrer qu’il existe une famille $\mathscr{V}$ de parties ouvertes et convexes de $\mathbf{I}^{\mathbf{N}}$ telle que, pour tout ouvert $v\in \mathscr{V}$, il existe un ouvert $u\in \mathscr{U}$ tel que $v\cap X\subset u$, et une rétraction continue $r$ de l’injection canonique de X dans la réunion V de la famille $\mathscr{V}$. b) Soit Y un espace topologique et soit B un sous-espace fermé de Y. Soient $f, g: Y\rightarrow X$ des applications continues qui sont $\mathscr{V}$ -proches, soit $\sigma : B\times \mathbf{I}\rightarrow X$ une homotopie $\mathscr{V}$ -petite dont l’origine est égale à $f|_B$.

Démontrer qu’il existe un voisinage W de B dans Y et une application continue $h$ du sous-espace $(Y\times \{0,1\})\cup (W\times \mathbf{I})$ de $Y\times \mathbf{I}$. dans X telle que $h(y,0) =f(y)$ et $h(y,1) =g(y)$ pour tout $y\in Y$, et $h(y, t) =\sigma (y, t)$ pour tout $y\in B$ et tout $t\in \mathbf{I}$. Démontrer qu’il existe un voisinage $W'$ de B contenu dans W tel que $h|W'\times \mathbf{I}$ soit une homotopie $\mathscr{V}$ -petite.

c) Soit $u: Y\rightarrow \mathbf{I}$ une application continue telle que $u(y) = 1$ pour $y\in B$ et $u(y) = 0$ au voisinage de Y-W ; poser

$\{(1-u(y))((1-t)f(y) +tg(y)) +u(y)h(y, t)$ si $y\in V$

$(1-t)f(y) +tg(y)$ sinon.

Démontrer que $h'$ est continue et que son image est contenue dans V.

d) En déduire qu’il existe une homotopie $\widetilde{\sigma}: Y\times \mathbf{I}\rightarrow X$ d’origine $f$, de terme $g$, et qui est $\mathscr{U}$ -petite.