Bài tập 11, § 2

(a) Cho $X$ là không gian thương của không gian $\mathbf{R}\times \{1,2\}$ theo quan hệ tương đương tinh nhất mà đối với nó $(t,1)$ tương đương với $(t,2)$ nếu $t\in \mathbf{R}^*$. Chứng minh rằng không tồn tại một đường đi đơn ánh trong X mà các đầu mút là ảnh của các điểm $(0,1)$ và $(0,2)$.

(b) Cho $c:\mathbf{I}\rightarrow \mathbf{S}^1$ là đường đi được xác định bởi $c(t) =e^{3\pi it}$; nó nối điểm 1 với điểm $-1$. Chứng minh rằng không có đường đi đơn ánh nào trong $\mathbf{S}_1$ đồng luân chặt chẽ với đường đi $c$.