Exercice 11, § 2

a) Soit X l’espace quotient de l’espace $\mathbf{R}\times \{1,2\}$ par la relation d’équivalence la plus fine pour laquelle $(t,1)$ est équivalent à $(t,2)$ si $t\in \mathbf{R}^*$. Démontrer qu’il n’existe pas de chemin injectif dans X dont les extrémités soient les images des points $(0,1)$ et $(0,2)$.

b) Soit $c:\mathbf{I}\rightarrow \mathbf{S}^1$ le chemin défini par $c(t) =e^{3\pi it}$; il relie le point 1 au point $-1$. Démontrer qu’il n’y a pas de chemin injectif dans $\mathbf{S}_1$ qui soit strictement homotope au chemin $c$.