Bài tập 14, § 2

Cho $X$ là một tập hợp và cho $\mathfrak{c}$ là một bản số vô hạn sao cho $\mathfrak{c}<$ Card(X).

a) Gọi $\mathscr{U}_{\mathfrak{c}}$ là tập hợp các tập con V của X sao cho Card(X-V) $\leqslant \mathfrak{c}$ hoặc $V =\emptyset$. Bài tập chứng minh rằng $\mathscr{U}_{\mathfrak{c}}$ là một tôpô trên X.

b) Bây giờ chứng minh rằng tập hợp X, được trang bị tôpô này, là liên thông và liên thông địa phương, nhưng các thành phần liên thông bằng cung của nó đều chỉ gồm một phần tử.

c) Bây giờ chứng minh rằng hình nón C(X) là liên thông bằng cung, liên thông địa phương, nhưng không liên thông bằng cung địa phương. Điều này chứng tỏ rằng trong hệ quả 2 của III, p. 267, người ta không thể bỏ giả thiết rằng không gian là compact địa phương và khả mêtric.