Exercice 14, § 2

Soit X un ensemble et soit $\mathfrak{c}$ un cardinal infini tel que $\mathfrak{c}<$ Card(X).

a) Soit $\mathscr{U}_{\mathfrak{c}}$ l’ensemble des parties V de X telles que Card(X-V) $\leqslant \mathfrak{c}$ ou $V =\emptyset$. Démontrer que $\mathscr{U}_{\mathfrak{c}}$ est une topologie sur X.

b) Montrer que l’ensemble X, muni de cette topologie, est connexe et localement connexe, mais que ses composantes connexes par arcs sont réduites à un élément.

c) Montrer que le cône C(X) est connexe par arcs, localement connexe, mais n’est pas localement connexe par arcs. Cela démontre que dans le corollaire 2 de III, p. 267, on ne peut omettre l’hypothèse que l’espace est localement compact et métrisable.