Bài tập 2, § 2

Cho S là đồ thị của hàm từ $]0,1]$ vào $\mathbf{R}$ cho bởi $x\mapsto$ sin($\pi /x$); gọi $\overline{S}$ là bao đóng của nó trong $\mathbf{R}^2$.

(a) Chứng minh rằng các không gian S và $\overline{S}$ là liên thông.

(b) Chứng minh rằng một tập con liên thông và compact của $\overline{S}$ chứa các điểm $(1,0)$ và các điểm $(0,1)$ nhất thiết bằng S, nhưng không có đồng phôi nào từ $\mathbf{I}$ lên $\overline{S}$ đưa 0 tới $(1,0)$ và 1 tới $(0,1)$.

(c) Xác định các thành phần liên thông theo cung của không gian $\overline{S}$.

(d) Chứng minh rằng không gian $\overline{S}$ không liên thông địa phương.