Exercice 2, § 2

Soit S le graphe de la fonction de $]0,1]$ dans $\mathbf{R}$ donnée par $x\mapsto$ sin($\pi /x$); soit $\overline{S}$ son adhérence dans $\mathbf{R}^2$.

a) Démontrer que les espaces S et $\overline{S}$ sont connexes.

b) Démontrer qu’une partie connexe et compacte de $\overline{S}$ contenant les points $(1,0)$ et les points $(0,1)$ est nécessairement égale à S, mais qu’il n’existe pas d’homéomorphisme de $\mathbf{I}$ sur $\overline{S}$ appliquant 0 sur $(1,0)$ et 1 sur $(0,1)$.

c) Déterminer les composantes connexes par arcs de l’espace $\overline{S}$.

d) Démontrer que l’espace $\overline{S}$ n’est pas localement connexe.